Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
максвелловское выражение для тензора натяжений электромагнитного поля,
играющее важную роль в теории относительности. Для этого найдем, как
электромагнитное поле изменяет импульс электрически заряженного вещества
(изменение энергии мы нашли в предыдущем параграфе).
Скорость, с которой электромагнитное поле изменяет импульс заряженного
вещества, находящегося внутри данной поверхности, можно записать с
помощью (41.5) в виде
^j- = jp (Е+4[uXH]jdy, (43.1)
где интегрирование опять производится по некоторому объему,
фиксированному в пространстве. Подставляя сюда вместо р и ри/с
соответствующие величины из полевых уравнений (39.1) и (39.4), последнее
соотношение переписываем так:
§ = j (EdivE + (rotH)xH - X Hjdc =
= j(EdivE + (rotH)xH + -LEX f- -4lExl,])dy.
что, с учетом (39.3) и (42.7), принимает вид
^ = j1 (Е div Е X (rot Н) X Н X (rot Е) X Е - dv. (43.2)
Здесь g- плотность электромагнитного импульса поля. Или, рассматривая для
определенности проекцию импульса на ось х и расписывая по компонентам
векторы, стоящие в правой части
(42.6)
(42.7)
104 ГЛ. IV. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ И ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
(43.2), придем после довольно длинных тождественных преобразований к
следующему выражению:
4-А (Е,г - 4 - й + я! - ^ - ЯГ)+
? (?"?" пл., It, и, + ил л - 4У] dv. (43.3)
Этот результат очень просто интерпретировать, если тензор натяжений
переписать в виде симметричных выражении
ри=~ (Ei -Ё\-Е\ + т-Щ - Hi), (43 4)
Pij - - (EiEj 4" Hitij), которые позволяют придать соотношению (43.3)
более общий
вип-
<435
Выполняя интегрирование по частям, получаем
^Г-г ^dv = -\\\pu\] dtjdz-
- dxdz - ^\ри\г dxdy, (43.6)
где пределы интегрирования обозначены буквами х, х' и т. д. Из этих
уравнений видно, что изменение полного импульса внутри заданной
поверхности, происходящее по механическим причинам и из-за воздействия
электромагнитного поля, можно вычислить, зная величины электромагнитных
натяжений на этой поверхности, которые мы определили выражениями (43.4).
Таким образом, оправдывается название "электромагнитные натяжения" для
величин pij.
§ 44. Формулы преобразований для электромагнитных плотностей и натяжений
В двух последних параграфах получены выражения для величин, которые могут
рассматриваться как плотность электромагнитной массы, плотность
электромагнитного импульса и как компоненты тензора электромагнитных
натяжений. А так как все эти величины выражаются с помощью уравнений
(42.6), (42.7) и (43.4) через напряженности электромагнитного поля Е и Н,
dG{
§ 45. МЕХАНИЧЕСКОЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ Ю5
можно, очевидно, получить правила преобразования этих новых величин при
переходе от одной системы координат к другой, используя преобразования
(40.1) и (40.2) для компонент векторов Е и Н. Выкладки при этом
оказываются довольно длинными и утомительными, но, в сущности, простыми.
Преобразования от системы S к другой системе S', движущейся относительно
первой со скоростью V, параллельной оси х, в конечном итоге приводят к
результатам:
р' + Рххv2/c4 + 2ех у1сг
(44.1)
У 1 - Г2/с3
(с2р'+ Pxx)Vlc3 + (l + V4c3)g'x p Vlc* , оу
/r=Tw • кг=т*тгГ' 1 '
Рхх + Р'У* +2g,F У1 - Vlic2
Руу Руу<
(44.3)
Рху + 8Х V .
Рху ~ УТ-УЧ* ' 1 ~~,Jyz'
Правила преобразования остальных компонент рассматриваемых величин можно
найти из уже полученных, используя симметрию относительно проекций у и z
и симметрию тензора Рц.
Особо отметим, что эти уравнения принимают тот же вид, что и уравнения
(36.3) - (36.5) для аналогичных механических величин, если скорость
системы координат S' специально положить равной V-u, а компоненты
импульса gx, gy и усчитать нулевыми, что соответствует выбору собственных
координат в механике. Можно показать также, что правила преобразований не
будут по виду отличаться от тех, что использовались в механике и при
более общих заменах систем координат.
§ 45. Совместное механическое и электромагнитное воздействие
В предыдущей главе в § 38 мы обсуждали эффект механического воздействия
на среду, состоящий в изменении массы (или энергии) и импульса внутри
данного объема, фиксированного в пространстве, и получили соответствующие
выражения. В этой главе в § 42 и § 43 были получены аналогичные
выражения, описывающие изменения тех же величин при электромагнитном
воздействии на вещество. Теперь мы сравним их и рассмотрим эффект
совместного механического и электромагнитного воздействия. Условимся
различать механические и
106
ГЛ. IV. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ И ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
электромагнитные величины с помощью индексов "мех" и "эм" и для простоты
будем считать, что двойное появление индекса "/" в данном члене означает
суммирование по проекциям пространственных координат х, у и z.
Тогда, используя уравнения (38.1) и (38.3), можно выразить эффект
механического воздействия на массу и импульс в данном пространственном
объеме следующим образом:
J [р]мех dv = J ~дх7 [?/1мех dVi (45.1)
J [gilwex dv = j" Qx [pij]Mex. dv (45,2)
С другой стороны, учтем, что скорость, с которой производится работа над
