Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
один и тот же момент времени. С другой стороны, gi следует рассматривать
как переменную, так как при переходе ко все более удаленным туманностям
мы переходим ко всем более ранним временам излучения, т. е. значения gi
оказываются разными. Отсюда ясно, что красное смещение будет по-разному
зависеть от расстояния до туманности при различных видах функции g(t).
*) В своих лекциях, прочитанных в Калифорнийском технологическом
институте зимой 1932 г., профессор Эйнштейн указал, что эти выражения для
числа туманностей можно использовать для проверки справедливости модели
Эйнштейна - де Ситтера, в которой R q полагается равным оо, а Д=0.
31*
484
Гл. X. космология
Чтобы иметь дело с конкретным видом функции g(i), можно, конечно, выбрать
какую-нибудь модель с одним из типов эволюции, рассмотренных во второй
части этой главы, и позаимствовать g(i) у этой модели. Однако в настоящее
время такой выбор пришлось бы делать на основе каких-то метафизических
спекуляций. Поэтому для наших целей лучше всего пойти более
феноменологическим путем и попытаться получить максимально возможную
информацию относительно вида функции g{t), проводя сравнительный анализ
данных наблюдений.
Поскольку естественно считать, что g(t) - непрерывная функция t, и
поскольку красное смещение зависит от расстояния приблизительно линейным
образом, то разумнее всего взять функцию g(i) в виде разложения в ряд
Тейлора по степеням t около текущего момента t2, который мы примем за
начало отсчета времени [99], т. е. положим t2 - 0. Тогда, пренебрегая
пока степенями выше третьей, получаем
где Я, I, т - постоянные коэффициенты, а множитель 2 введен для того,
чтобы избежать появления дробей в дальнейшем. Отсутствие в приведенном
разложении постоянной, разумеется, не имеет принципиального значения, но
вместе с тем, поскольку такой выбор означает, что при t2 = 0 мы будем
иметь удобное значение g2=0, интервал (182.1) в окрестности начала
координат в текущий момент времени тем самым приводится к такому же виду,
как и в специальной теории относительности. Таким образом, красное
смещение, наблюдаемое в начале координат, согласно (182.2) определяется
выражением
где Ч - момент в прошлом, когда наблюдаемый свет был испущен туманностью.
Для сравнения с астрономическими данными более удобно, однако, выразить
красное смещение не через степени Ч- времени испускания, а в виде ряда по
степеням г - расстояния до рассматриваемой туманности. Чтобы получить
такое разложение, нам нужно знать значения последовательных производных
по г от 6АД в точке г = 0.
Для первой производной согласно (182.4) мы можем написать
(182.3)
- 1, (182.4)
(182.5)
§ 182. РАССТОЯНИЕ ДО ТУМАННОСТИ И КРАСНОЕ СМЕЩЕНИЕ
485
где dti/dr - изменение времени при изменении координатного расстояния до
рассматриваемой туманности. Зная из вида интервала (182.1) выражение для
скорости света, можно dtjdr представить следующим образом:
откуда после подстановки в (182.5) находим первую производную по г от
6Л./Я:
что совпадает с равенством (156.6), полученным прежде.
Точно таким же образом можно получить выражения для более высоких
производных от 8Я/Я. Беря функцию g(t) в виде
(182.3) и полагая после дифференцирования г=0, получаем
где особенно приятно отметить, что зависимость от пространственной
кривизны, т. е. от Ro, появляется только начиная с третьей производной.
С помощью найденных производных мы можем выразить зависимость красного
смещения от координат туманности в виде ряда Тейлора - Маклорена:
Сопоставление с реальной Вселенной дает значение для первого коэффициента
разложения (постоянной Хаббла).
которое согласуется с результатом Хаббла и Хьюмасона (177.15), поскольку
в пределах ошибок измерений d можно заменить на г.
Что касается коэффициентов при следующих членах разложения, то для них
можно установить верхние и нижние границы,
7!*.
М1 d?
}Л-г"3/Я20 '
е
(182.6)
(182.7)
(182.8)
Я=5,7Ы0-10 (лет)-1,
(182.10)
486
Гл. X. космология
исходя из того факта, что в пределах ошибок наблюдения красное смещение
возрастает с расстоянием приблизительно линейно вплоть до самого далекого
скопления в созвездии Льва, т. е. вплоть до расстояний 108 световых лет.
Из графика зависимости красного смещения от расстояния (рис. 12) можно
увидеть, что отклонение от линейности 6А,/Х-Нг не превосходит 1% при 107
световых лет, 3% при 3-107 световых лет и 18% при 108 световых лет. Это
означает, что в качестве разумного верхнего предела для значений
последующих коэффициентов можно взять
|/| <5-10_!9 (лег)-2 (182.11)
'5-10 27 (лет)-8, (182.12)
Н I 1 ui I
ТЩ + -ш + т
безотносительно к знаку.
Эти верхние пределы приводят к следующему отклонению (в процентах) от
простой формулы б Х/Х -Hr при различных расстояниях (табл. V):
Таблица V
Расстояние, свето- МО7 2-107 3 -107 6-107 10107
вой год
член с г2 член с г 0,9% 00 2,6% 5,3% GO СО
член с г3 член с г 0,1% 0,4% 0,8% 3,2% -.о с • со 00
§ 183. Связь плотности с пространственной кривизной и космологической
