Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
центра в момент /2, и учитывая, что величина g2 функ-
§ 181. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА ТУМАННОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ 481
ции g(t) в момент наблюдения тоже одинакова для различных
туманностей, находим
б0 = const gVl(gl_gl)< (180.3)
г
С помощью выражения для красного смещения (178.5) это равенство можно
преобразовать к виду
бе = то2Ё^-на (180.4)
г А
Комбинируя (180.4) с уравнением (178.11), связывающим наблюдаемую
светимость и координату местонахождения, получаем зависимость между
наблюдаемым диаметром, светимостью и красным смещением:
const (180.5)
Это соотношение позволяет на практике проверить, является ли правильной
гипотеза о том, что красное смещение есть результат реального расширения.
Комбинируя (180.4) с уравнением (179.7), связывающим координатное
расстояние f с астрономическим расстоянием d, получаем
"0 = ^22! (*+?)¦'¦. (180.6)
Это равенство полезно сравнить с равенством (177.16), полученным ранее из
предположений о стационарности туманностей и о еоклидовости пространства.
§ 181. Распределение числа туманностей в пространстве
Перейдем теперь к вопросу о том, сколько туманностей можно насчитать
внутри области с заданным радиусом г, исходя из предположения, что модель
однородна и расширяется. Чтобы ответить на этот вопрос, положим, что в
единице собственного объема в некоторый выбранный момент to находится п0
туманностей, приэтом g(t) принимает значение go- Тогда, умножая пп на
собственный объем, отвечающий выражению для интервала в виде (180.1),
очевидно, получаем, что число туманностей в области от г до r-\-dr равно
dN = nQd v0 = 0 _ :=-¦ 181.1)
Vl -r*/F?0
31
P. Толмен
482
Гл. X. КОСМОЛОГИЯ
Как было показано в § 153, частицы, которые покоились относш тельно
пространственных координат (г, 0, ср), а, следовательно, также и
относительно (г, 0, ср), остаются покоящимися все время. Поэтому не будет
происходить увеличения или уменьшения числа туманностей из-за их среднего
потока через границы при г и r+бг, и поэтому (181.1) дает полное число
туманностей в рассматриваемом интервале координат, одинаковое для любого
момента времени. Иными словами,
Отсюда видно, как изменяется число туманностей по мере перехода ко все
более и более удаленным координатам. Следует отметить также, что это
выражение вместе с уравнением (178.11), связывающим координаты
местонахождения со светимостью и красным смещением, могло бы служить для
прямой эмпирической проверки того, насколько однородно распределены
галактики в реальном мире.
Зная величину R0, которая может быть как действительной, так и
бесконечной и мнимой, мы можем проинтегрировать уравнение (181.2) и
получить полное число объектов во всем объеме вплоть до любого наперед
заданного г. В дальнейшем будут установлены ограничения на возможные
значения R{j (см. (183.14)) и окажется, что r2/Ro едва ли может
превосходить 0,02 даже для самого удаленного скопления в созвездии Льва,
расстояние до которого составляет несколько сот миллионов световых лет.
Поэтому в большинстве случаев для полного числа туманностей внутри
области с любым наперед заданным радиусом г можно положить
Подставляя сюда значение г из уравнений (178.11), (179.7) и (180.4),
можно получить еще несколько формул:
Эти соотношения определяют соответственно полное число га-
dN = const
r2dr
(181.2)
N = const-г3.
(181.3)
N = const-г3.
N =
const
3nst [ % \3
^ 3. 2 (A. 67 J
(181.4)
§ 182. РАССТОЯНИЕ ДО ТУМАННОСТИ И КРАСНОЕ СМЕЩЕНИЕ
483
лактик внутри области вплоть до заданного значения координаты г,
астрономического расстояния d, болометрической светимости I или видимого
диаметра 60; причем &Х/Х равно максимальному красному смещению
туманностей в указанной области*). Второе из этих выражений следует
сравнить с выражением (177.21), полученным ранее исходя из предположения
о стационарности туманностей и об евклидовости пространства.
§ 182. Расстояние до туманности и ее красное смещение
Теперь мы можем рассмотреть связь между координатами туманности и ее
наблюдаемым красным смещением, пользуясь по-прежнему координатами (г, 0,
ф, t), которые, как было показано, являются очень удобными для проведения
сопоставления с астрономическими наблюдениями. В этих координатах
интервал однородной модели записывается в виде
ds2 = - е8^ ^ г2^92 + r2sin20d(f2 j + dt2. (182.1)
Исследование допплер-эффекта, проведенное в общем виде в § 155 (см.
уравнение (155.8)), а для частного случая в§ 178 (см. уравнение (178.5)),
показывает, что относительное красное смещение длины волны света,
испускаемого туманностью, наблюдаемой из начала координат, можно
представить следующим образом:
~ = е'/,<*,-*.) -И (182.2)
где gi и g2- значения функции g{t) соответственно в моменты времени t\,
когда свет испускается туманностью, и t2, когда он достигает центра
наблюдения.
При описании с помощью этого уравнения данных наблюдения, g2, очевидно,
можно считать постоянным, поскольку все туманности, которые мы наблюдаем
из нашего местоположения, принятого за начало отсчета, мы наблюдаем в
