Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
свойств моделей с наблюдениями. Общее же сопоставление моделей с реальной
Вселенной отложим до § 185.
В настоящем параграфе будет рассмотрена связь между координатами
местонахождения туманности и ее наблюдаемой светимостью. Имея дело с
нестатической моделью, можно ожидать, что подобная связь существует.
Проще всего подойти к этому вопросу, основываясь на интервале не в
первоначальном виде
A(t)
7-Г 7, + rW -L r2sin2edcp2) +dt2, (178.1)
[1 "i" /'";4/ч|7
/ f-2 \
em (------?=57Т - ^92 + г2 sin2 9 dtp2 + dt2, (178.2)
\ ! - 7 / Л о /
который был получен в § 149 с помощью преобразования
ds2 = - -
а в виде
ds2 = -
г= -----------г. (178.3)
Так как это преобразование затрагивает только координату г, то все те
первоначальные выражения, которые не зависят от г, например, формулы для
давления, плотности, остаются неизменными.
Чтобы получить искомое соотношение между координатами и наблюдаемой
светимостью [98], удобнее всего для начала
476
Гл. X. космология
поместить туманность в центре, а наблюдателя - на заданном, интересующем
нас координатном расстоянии г. Пусть они оба покоятся относительно
выбранных пространственных координат, тогда, согласно нашему определению,
они будут покоиться и относительно материи в непосредственной близости от
них. Примем, что наблюдаемая светимость I источника равна количеству
энергии, принимаемой наблюдателем в единицу времени на единицу площади
поверхности, при условии, что между источником и наблюдателем нет
никакого поглощения и что наблюдатель при этом пользуется своими
собственными эталонами.
Чтобы вычислить эту светимость, поступим следующим образом. Обозначим
момент времени, когда туманность, расположенная в центре, испускает свет,
через t\, а момент времени, когда этот свет достигнет наблюдателя,
расположенного на координатном расстоянии г от центра, через t2.
Используя скорость света, которая определяется с помощью выражения для
интервала
(178.2), можно связать оба значения t с пройденным расстоянием уравнением
Продифференцируем обе части этого выражения. Учитывая, что пределы
интегрирования в правой части постоянны, получаем
Это уравнение связывает промежуток времени бЧ между двумя
электромагнитными возмущениями на источнике с промежутком 6^2 между этими
же возмущениями у наблюдателя через посредство функции g(t), которая
принимает значения gi и g2 в моменты Ч и t2 соответственно.
Предполагая, что бЧ - это промежуток времени между двумя
последовательными волновыми максимумами, испускаемыми источником, и
замечая, что координатное время t совпадает с собственным временем как
источника, так и наблюдателя, перепишем выражение (178.4) в виде
где А, и v - длина волны и частота света на источнике, а (А+бА) и (v+6v)
- соответствующие значения у наблюдателя. Полученное выражение, как и
следовало ожидать, совпадает с результатом (155.7), найденным ранее для
допплер-эффекта.
§ 178. КООРДИНАТЫ ТУМАННОСТИ И СВЕТИМОСТЬ
477
Далее, предполагая, что бt\ в уравнении (178.4) есть промежуток времени
между испусканием двух последовательных фотонов, которые уносят энергию
от туманностей, получаем
2 - о (&2 St)
¦~ = е 2 . (178.6)
Здесь z\ - число фотонов, покидающих источник за единицу времени, а г2 -
число фотонов, попадающих в единицу времени на поверхность сферы с
координатным радиусом г вокруг начала координат.
И наконец, согласно выражению для интервала (178.2) полная собственная
площадь поверхности сферы с координатным радиусом г, через которую фотоны
пройдут в момент времени t2, равна
Л0 = 4л?ев\ (178.7)
Отсюда, если предположить, что средняя энергия фотонов, испускаемых
туманностью, равна Мц, из последних трех уравнений, в согласии с
приведенным выше определением, получаем следующее выражение для
наблюдаемой светимости:
I = ZlftVl-62gl g -¦¦¦ = (гтжТ- <178-8)
4лг е 4лг е 2 "Ь
Полученный результат относится к простому случаю, когда туманность
находится в центре, а наблюдатель - на координатном расстоянии г. Однако
в § 149, в было показано, что преобразование к новой системе координат с
тем же выражением интервала (178.2), как и раньше, но с наблюдателем,
перемещенным в центр, приведет к тому, что туманность окажется на
координатном расстоянии г. Поэтому мы можем заключить, что формула
(178.8) справедлива также и в том случае, когда наблюдатель находится в
центре, а туманность - в Т.
Такая конфигурация более удобна, если мы желаем сравнивать наблюдаемые
светимости галактик, находящихся на разных расстояниях г, но наблюдаемых
в начале координат в один и тот же момент t2. Считая, что собственные
светимости и, следовательно, г 1 и vi для различных туманностей
одинаковы, мы немедленно получаем из (178.8)
/ 7'2(1 + б V/V)*
/' :"
г"(1 +6\А)2
(178.9)
где 1/1' - отношение наблюдаемых светимостей двух тождественных
туманностей, помещенных на координатных расстояниях г
478
Гл. X. космология
и г', а 6АД и 6А/Д'- их относительные красные смещения, наблюдаемые в
центре.
