Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
равна Р {Ау = г}, а вероятность второго события равна Р {An-/ = k - г),
причем эти вероятности найдены при решении задачи 8. Поэтому
min (/, k)
Р {a(")=/}= S {PA/=/-}P {A"_/ = fe-r-} = r = max (0, / + & -я) min (/,
fe)
= 2 P{Ar = 0}P{Ar-/ = 0}P{Afe_r = 0}P{A"_/-ft+r = 0},
/¦=max (0, / + fe-л)
Где
10. Если |ь |2 |n - взаимно независимые случайные величины, одинаково
распределенные с непрерывной функцией распределения Р (х), то Tii = -
E(|i), т]2 = F (Ы> • • •> F (In) - взаимно независимые случайные величины
с одинаковым равномерным распределением в интервале (0, 1). Обозначим
через Fn(x) эмпирическую функцию распределения выборки (|i, |2....|п).
а через Gn (х) -
Решения
259
эмпирическую функцию распределения выборки (гр, тр, г)"). Тогда Fn(x) = =
Gn (F (х)) и
б"= sup \Fn(x)-F(x)\= sup I Gn (F (x)) - F (x) | =
- OO < x < 00 -00 < X < 00
= sup I Gn (у) - у |,
что и доказывает, что распределение величины 6п не зависит от F (х).
11. Пусть (1!, |2, •••> In) и (тр, г)2, ..., %) -независимые выборки,
являющиеся взаимно независимыми случайными величинами с общей непрерывной
функцией распределения. Объединим обе выборки в одну последовательность и
расположим ее элементы по возрастанию. Определим случайные величины Хъ
х2" следующим образом: Хг = 1> если /-я величина в полученной
упорядоченной последовательности принадлежит первой выборке, и %t = - 1,
если i-я величина принадлежит второй выборке. Тогда
Р 16+ (п, п) < 1 = Р {Xi + ... + Хг ^ о для всех г - 1, 2, ...,
2п).
Последовательность (Xi + ••• +Хг) описывает путь частицы, совершающей
случайное блуждание по оси х. Частица начинает движение из точки х = 0 и
за 2п шагов может переместиться на п единиц вправо и на п единиц влево,
причем все пути равновероятны.
Из решения задачи 3 гл. 1 следует, что
для с = 0, 1,..., п. Если в этой формуле с = [}^ 2п г] и п оо, то для lim
Р ( ~\f 6+ (п, п) ^ z ) = 1 - e~2z\
П-"оо I f х j
12. В обозначениях задачи 11
Р |б (п, | = Р {| Xi + ... +Хг К с Для r= 1, 2 п}.
Решение задачи 4 гл. 2 дает
\п)к_
для с = 0, .1, .... п. Если в этой формуле с = [\^2т] и п -> оо, то
___ ОО
яШп>р{|/Г-|в(я,я)<г}-^(2)= J] (-l)ke~2kv
k= - оо
для г^О. Это согласуется с формулой (13) § 48.
13. Пусть (|i, |2, •••• im) и (ip, г|2, ..., т|") - независимые выборки,
состоящие из взаимно независимых случайных величин с общей непрерывной
функцией распределения. Расположим их в одну последовательность в порядке
возрастания. Обозначим через аг число элементов первой выборки среди
первых г членов новой последовательности, а через рг число элементов
второй выборки среди первых г членов этой последовательности. Тогда
260
Решения
При т = п в силу теоремы 1 § 2 Р {аг > рг для г = 1,2,..., '2т - 1} =
Если (т, я)=1, то с помощью решения задачи 1 гл. 8 получаем Р |аг>-~рг
для л = 1,2,.... т + п- 1 | = т | •
14. Обозначим через тг, г- 1, 2........ моменты появления r-го события
в пуассоновском процессе. Тогда
Р{ sup | v (и) - Хи К х =
0<ц<1
¦= Р {- х У X < Ххг - г < х У X - 1 для 0< тг < 1 и I v (1) - Я | < х Я}
и, следовательно,
lim Р{ sup | v (и) - Хи | < х У Х] = lim р) sup
X ОО 0^ Ц < 1 оо
Г
Тг т
Здесь хг является суммой г взаимно независимых и одинаково распределенных
случайных величин с функцией распределения F (х) = I - е~}'х при В
дан-
ном случае Е (тГ) = г/Х и Var {тг} = r/Х2. Используя принцип
инвариантности Зрдёша и Каца, правую часть последнего равенства можно
представить в виде
lim Р{ max
А.-"оо 1<г<А.
где ?r = Si + ••• + при г=1, 2 а (|г) - взаимно независимые случайные
величины с распределением Р {|г = 1} = Р (|г => - 1} = 1/2. Решение
задачи 4 гл. 1
дает Р { max | ЪТ | <а} = У (~ 1И р {(2/ - 1) а < ?"< (2/ + 1) а) для
натураль-К т < п j
ного числа а. Если а*=*[х}^ п], то по центральной предельной теореме
lim Р{ max |?r|<*/"}= (- D7 [Ф ((2/ + 1) х) - О" ((2/ - 1) дг)1,
Я-> ОО 1 г ^ п
**¦ - 00
где Ф (х) = -1_ Г е ",/2 du. Поэтому
У 2п J
- ОО
lim Р{ sup | v (и) - Хи | У~Х) = L (х),
Л,->оо 1
где
L(x)= 2 (-1)'[Ф((2/+1)х)-Ф( (2/-1)х)]. /=.-00
Этот результат согласуется с формулой (53) § 40,
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелевы теоремы для преобразований Лапласа - Стильтьеса 215
- - - производящих функций 213 применения 24, 29, 30, 33, 40, 57,
62, 63, 66 Абеля теорема 213
- тождество 79
Адамара - Лиувилля теорема 218 Асимптотические распределения 113, 117,
118, 126, 131, 162, 164, 169, 203, 204, 208
Баллотировка, задачи о 13, 14, 42, 194
- теоремы о 7
классические 8, 9 ,
обобщенные 7, 10, 11, 176, 180
Бездействия время 106
- период 104, 106 Бернулли последовательность 35 Бесселя функция 72, 88,
163 Броуновского движения процесс 90, 207
---------верхняя грань значений 92, 93
---------время первого возвращения
92
- задачи 102
Бюрмана теорема 219 применения 242
Вероятностная мера 199
- функция распределения 199 Вероятностное пространство 199 Верхняя грань
значений случайных величин, математическое ожидание 28
----------------распределение 18, 21,
