Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
(-1)' [ dr+ и
1г) -1
ds h-o
(-Dr
1 - Яа
(-1)'
ds'
dur
r+l
s- 0
dr ( u\r+' dur ( s }
r+l
и -0
u=0
для г=1, 2,..., a производную в правой части можно вычислить с помощью
формулы Фаа ди Бруно (см. дополнение).
Таким образом, если Яа<1, то
Гг+.=
-2
V-1
(г + v)l Я
V-1
r\ (1 - Яа)
r+v+i
Yr,v
для r= 1, 2, ..., где Tr,v =
V н ((аЛ^ ( ar+1 У'
-I /,!/,! I 2! ) [31/ "'Ц/Ч-1 )U "
/1 + /2+--.+/r=v it + 2l2 + ...+r/r-r
В частности,
IV
а2
(1 - Яа)3 ' а4
Г3-
+
ЗЯа,
(1 - Яа)4 (1 - Яа)6
10Яа,ао + - ^г +
15Я2аз
(1 - Яа)6 (1 - Яа)6 (1 - Яа)7 '
Замечание. Если Н (х) = 1 - е~х1а для х ^ 0, то аг = г! аг и ,+v V '!
г! (г-1
Yr,v = d
/,+/2+ ... +/r=v /j+2/?+ ... +rjr~r
/1!/2! .../г! v! \v
242
Решения
5. Пусть
С" ОО
а = J х dH (х) и ф (s) = J e~sx dH (х). о о
Если Аа<1, то процесс {т| (t), 0 ^ t < 00} имеет стационарное
распределение Р {т| (0 ^ х) = W (х) и. его преобразование Лапласа -
Стильтьеса равно -
Q (s) = ¦ 1 " Яа
1 - А (1 - ф (s) )/s
для Re (s) > 0 (см. формулы (25) и (50) § 29). Функцию W (х) можно
получить в явном виде по формулам (13), (14) и (17) § 19. Пусть
W. о
для г = 0, 1, 2 Тогда
r = J xr dW (х)
5= +0
а правую часть можно вычислить с помощью формулы Фаа ди Бруно (см.
дополнение). Таким образом,
W - V Я V у
~ (1 - Aa)v V
v=i
для r= 1, 2,... (функция v задана в решении задачи 4). В частности,
АЦп Адо А До
У|°оУ,-ТГ. ^-07, , ,Р +
2(1-Ад)' " 3(1-Аа) 2(1-Аа)2
Аа4 А 2а9а, ЗА3а9
Г3 - 4, , +----п-14т + ¦
4(1 - Аа) (1 - Аа)2 4(1 - Аа)3 '
6. Из теоремы 2 § 28 следует, что при Аа < 1 предельное распределение
lim Р{?п = 6} = Пт Р (?л = 6} = Р*, 6 = 0, 1, 2,..., существует и не
зависит
Я->оо л-"оо
от начального распределения, причем (P^,) - единственное стационарное
распределение для {?"} и {?"}. Далее,
ОО
РЫ_У Pu?k = (1 - Аа) (1 - z) ф (А (1 - г) ) ф (А (1 - г)) - г
для |г|<1, где ф (s) - преобразование Лапласа - Стильтьеса функции Н(х).
Если Аа^1, то lim Р {?п = 6} = lim P{?" = 6} = 0 и {?"} и (?п) не имеют
ста-
TZ -> оо П~>оэ
ционарных распределений.
Так как
Р (z) = ?2 (А (1 - z)) ф (А (1 - г)) = (1 - Аа) (1 - z) + zQ (А (1 - z)),
Решения
243
где функция Q (s) задана в решении задачи 5, то
ОО
В, - 2 kPk = k(W, + a)
6-0
И
00 1
%Twr хг~1№г-г
(г- 1)!
k=r
для г - 2, 3 a Wlt W2,... заданы в решении задачи 5.
7. Если а -среднее время обслуживания и ка < 1, то процесс {? (t), O^t <
оо} имеет стационарное распределение Р {§ (t) = k] = Pk, k = 0, 1, Pk =
Pk, где {P*,} заданы в решении задачи 6. Если А,а^1, то процесс {? (t),
0</<оо} не имеет стационарного распределения.
Пространством состояний процесса {|(0>0^<<°о} служит / = {0, 1, 2,...}.
Если процесс стационарный, то среднее число переходов ?->? + 1 в
интервале (0, /) равно kPkt, а среднее число переходов k + \->k в
интервале (0, t)
равно XPkt для всех k=0, 1, 2 Так как эти средние для стационарного
процесса совпадают, то Pk = Pk для k = 0, 1, 2,....
8. Если %(и), 0 ^ и< оо, - полное время обслуживания всех требований,
поступивших в интервале (0, "], то (х("), 0 ^ и< оо} - обобщенный
пуассонов-ский процесс и
р {% (") < х) = 2 е~ы Нп (х),
til
п=0
-где Нп (х) означаает п-ю свертку функции Н (х) с самой собой. По теореме
1 § 29
ОО
Р {Т1 (/) < х I Т1 (0) = с} = ^ е~и ~f- \jln (t + X - с) -
ГС -1
-2(J) JJ <*-.,>]
/-1 с
для всех х, с^0 и />0.
9. Пусть Tin - время ожидания, а х" - время обслуживания "-го
требования.
Пусть Р {Т1"<х}=й7"(д:), Р{Хп<х} = Я(х), Е {е S""}=?2"(s) ие{й SX"} = ф
(s). Обозначим через ?" длину очереди непосредственно после окончания
обслуживания п-то требования.
Если начальная длина очереди равна нулю, то длина очереди непосредственно
после окончания обслуживания п-го требования равна числу требований,
поступивших в очередь в течение времени, проведенного в системе п-м
требованием, т. е. в течение интервала времени длительности г\п + %п.
Поэтому
{In = /} - J W * Я (*)],
о
Е{гЧ=Й"(Я(1-2))ф(Я(1-г)).
Л 0
откуда для | z | ^ 1
244
Решения
Если Ла<1, где а -среднее время обслуживания, то предел lim Е {z°n} = Р
(г)
П-> оо
существует при |z|^l, причем формула для Р (г) дана в решении задачи 6. В
соответствии с этим предел
lim ?2n (s) = ?2 (s)
оо
существует при | s - Я | ^ Я и
0 , , Р (1 - s/Я) _ 1 -Яа
bKS>~ ф(5) = 1-Я(1-ф(з))/5-
С помощью теоремы непрерывности для преобразований Лапласа - Стильтьеса
(см. дополнение) получаем, что при Яа< 1 предел lim Wn (х) = W (х)
существует,
П->оо
W (х) является функцией распределения и ее преобразование Лапласа -
Стильтьеса равно ?2 (s) для Re(s)>0. Если начальное состояние
произвольно, результат тот же.
Если Яа>1, то lim Р {% ^ л:} = 0 для всех х.
П-* оо
10. Пусть % (и), 0 ^ и ^ Т, - полное время обслуживания всех
требований,
поступивших в интервале времени (0, и]. Тогда {% (и), 0
и <1 Т] - случайный
процесс с переставляемыми приращениями. По теореме I § 29
P{T)(/)<x}=Pfa(0 </+*}- JJ [j^~)dydzP{x(yXy+x,%(t)<z+x)
0 < у <z < < для всех х и 0 < t^T. Кроме того,
