Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Такач Л. -> "Комбинаторные методы в теории случайных процессов" -> 82

Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.

Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов — М.: Мир, 1971. — 179 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatorniemetodivteoriisluchprocessov1971.pdf
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 91 >> Следующая

du
f(x)~
l
{X
1 Г log V
'* J 7 + ^
dv
для x>0.
238
Решения
8. Так как
sup ? (и) = max { sup ?(и) и ? (h) + sup (?(") - ? (Л))},
О < ы < f + Л О < ы < Л h^u<t + h
ТО
Р {-rj (/ + Л)< х] = Р {шах (Т1 (h) и ? (h) + tj* (t) ) < х},
где случайная величина т|* (t) так же распределена, как и т| ((), и не
зависит от {? (и), О < и < h). Если х > 0, то можно доказать, что
Р {ii (/ + h) < х} = Р {шах (0 и ? (Л) + rf (/)) < х] + о (h).
Отсюда
Е <( + /г)} = А {еНЧГ {s)E {е-*11 {t)] } + о (h).
Вычитая из обеих частей Е деля на h и устремляя Л к 0, получаем
дЕ[е-*^1'} =д(у (s)E{e-sT|(0}}.
Если
ОО
0(5, ш)= J e-wtE{e-sri(t)} dt
о
для Re(a>)>0 и Re(s)^;0, то
wQ (s, w) = А {'У (s) Q (s, w)}, и решение этого уравнения имеет вид
О (s, w) = exp (- A (log [w - 'К (s)]}).
Глава 5
1. Рассмотрим период занятости прибора, начинающийся с'щрибытия
требования. Обозначим через Хь Хг, tn, ¦ ¦ ¦ длительности
последовательных периодов обслуживания, а через vb v2> ..., vn, ... числа
требований, поступивших в течение 1-го, 2-го, ..., п-го периодов
обслуживания соответственно. Тогда
Gn (х) = Р {Xi + • • ¦ +Хп < X; V] > 1, V! + V2 > 2, . . ., V! + ... +
V"_! > Я - 1
И V] + ... \п = п - 1}.
Так как Vi, v2, ..., vra -взаимно независимые и одинаково распределенные
случайные величины, то можно заменить Vi, v2, ..., vra на vn, \n~i> ¦ ¦
•> vi соответственно - вероятность при этом не изменится. Следовательно,
Gn(x) = Р (Xi + ... + tn < х, v, < 1, v, + v2 < 2, ...., V! + ... + Vra-i
< п - 1
И V] + ... + \п - п - 1}.
По теореме 1 § 4
Р {Vi < 1, V! + V2<2, . . ., V, + • .. Vn-l<n-l | Vi + ... +vn = n~l,
, 1
Xi + ¦¦¦ +Xn = u} = -.
Кроме того,
p{vi+ ... +у"} = я--! |xi+ ... +Хп = и} = е~Хи
4
P(Xi t ••• Xn<x} = Hn (x),
Решения
239
где Нп (х) означает п-ю свертку функции Н (х) с самой собой. И наконец,
0"w,±jV'"-g^^
О
для п= 1, 2, ... и 1^0. Вероятность того, что длительность периода
занятости прибора не превосходит х, равна
ОО X .
п = 1 0
2. Обозначим через Хь %ъ •••> Хп длительности первых п периодов
обслуживания, а через vb v2, . . ., vn числа требований, поступивших в
течение 1-го, 2-го, ..., п-го периодов обслуживания соответственно. По
теореме 1 § 4
(*) =
= Р {Xi + ... + Xn<*> Vi + ... + yr> г - i для г = п - 1 и V[ + ... +vn~n
- i} = = Р {Xi + • ¦ • + vt + ... + vr<r для r= 1, ..., n-i и Vi + ...
+ vn=n-i}=
X
= P {v, + ... + vn = n - i и Xi + ... + Xn < J г)! dHn (")•
0
В задаче 1 мы получили G^ (х) = Grt (х). Вероятность того, что
длительность начального периода занятости не превосходит х, равна
°о х
n = i О
Здесь 00 обозначает i-ю свертку функции G^(x) = G(x) с самой собой
3. Имеем
п ~\с Х~С
Gn(x\c)=-?enl ° J e-^(u + c)n-{dHn(u)
о
для х ^ с и Gn (х | с) = 0 для х < с. Если п - 0, то это очевидно. Пусть
ti ^ 1 Обозначим через Хь Хг> •••> Хга длительности первых п периодов
обслуживания, следующих за начальным периодом занятости прибора, через v0
число требований, поступивших в интервале (0, с), и через Vi, v2, ..., vn
числа требований, поступивших за 1-й, 2-й,..., п-й периоды обслуживания,
следующие за начальным периодом занятости прибора. Тогда
GnU I с) = Р (Xi + ... + Хп <•* - с, v0 > 1, v0 + vr > 2, ...
..., v0+ ... +v"_i>n, v0+ ... + v" = ra},
откуда
n
Gn (x | c) = 2 P (vo = Л P {Xi + ... + Xn < x - c,
/=i
Vj+ ... +V;>1, ..., v,+ ... +vn_,>rt-/, v,+ ... +Vn = n-]},.
240
Решения
По теореме 1 § 4
P{v,+ ... +V/>1,..., V, + ... +vn_I>n-/|v1+ ... +vrt =
= Я - h Xi + • • • + Xn = и) = P {Vi < 1. v, + v2 < 2, ..., V, + ...
... +vn_/<n-/I v, + ... +vn-"-/,x1+ ... +X" = u} = -i-
ДЛЯ /=1, 2,..., п. Кроме того. P {v0 = /} = e~kc (Xc)4jl,
P{v, + ... +vn = n-j I Xi + ••• + Xn = u] = e~Ku 7
P{Xi + ••• +%п<х} = Нп(х).
Таким образом, для x^zc
/=1 о
- f е~к (ц + с) + с)]?- dHn (и), п J (п - 1)! "' ¦
о
4. Положим
ат- J xr dH (х)
о
для г = 1,2,... и а - а\. Если Ха ^ 1, то G (оо) = 1 и можно определить
ОО
Гг = J хт dG (х)
о
для г = 0, 1, 2,... (возможно, Гг = оо). Используя решение задачи 1,
получаем
"" га-1 ""
Г' = И^Г I e~U*?~i+T dHn(x).
П- 1
Если Ха < 1 и ar+i < оо, то Гг < оо. Если Ха - 1 или аг+1 = оо, то Гг =
оо. Положим
ОО
ф (s) = J e~sx dH (х). о
Моменты функции G (х) можно получить иначе. Покажем, что при Re (s) > 0
y(s)= | e~sxdG (x)
является единственным корнем г уравнения
z = ф (s + X - Xz)
в области | я | < 1.
Решения
241
Так как во время обслуживания первого требования может поступить / = 0,
1, 2,... требований, то
Y (") = 2 [у (")]' / е
/~о
I Г o~{S + h) U (W
dH (и) =
-[s + Л-Лу (")] и
dH (и) = if (s + Я - Яу (s))
при Re(s)^0. Если Re(s)>0, то из теоремы Руше следует, что уравнение г =
i]) (s + Я - Яг) имеет в области | г | < 1 в точности один корень,
который и дает искомую функцию у (s). Если Яа< 1, то у(+0) = 1 и Г, =
у^г)(+0). С помощью теоремы Бюрмана (см дополнение) легко вычислить у^
(+0). Положим и = s + Я [1 - у (s)]. Тогда s = и - Я [1 - ф (и)], откуда
при Яа < 1. Далее,
Г г+1 =
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed