Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения реш = р + о). Кроме того, Ф' (о) = 1/(р + ш).
Если р =? 1, то в силу (62) § 19
W (х) = W (0)
1 - Ф' (о)
(е м'р)у(х + у)
У-1
шах (0, -х)
Формулу для W (*) можн) получить еще и так: имеем
Г (у)
dy
0 \pu
\-е~"х f "-У du - 1- x
19*
а в силу (61) § 19
W
(*) = Г(0) J] (-!)"< (x),
n=0
где Нп (х) - это л-я свертка функции Н* (х) с самой собой.
5. Если (т! (/), t < оо} - стационарный процесс, то по теореме 4 § 33
W (х)
W (т)
Решения
249
для 0 ^ х т, a W (х), О х < оо, определяется равенством
для Re (s) > со, где со - наибольший неотрицательный вещественный корень
уравнения Ф (s) = s.
В данном случае
ОО
- = s'12
дР (X (О < х) дх
V 4г
t е~Р!Ах
для х > 0. Далее, А, = Ф (оо) = оо, р = Ф' ( + 0) = оо, и = 1 Ф' (со) =
.
В силу (46) § 19
ОО
W (х) - W (0) т для х>0, а в силу (49) § 19
гп/2
п=0
(гг/ 2+1)
W(x) = W (0)
2е
а-уЩ (х+у) dy
max (0, ~х) b + ")'h
для всех х.
6. Если {г| (/), 0 < оо) - стационарный процесс, то
по теореме 5 § 33
W Ы
для 0 ^ х <! т, a W (х), 0 ^ х < оо, определяется равенством
ОО
С
j e~sx W (х) dx -
Y(s)
для Re (s) < и, где со - наибольший неотрицательный вещественный корень
уравнения W (s) = 0, а С - отличная от нуля константа.
В данном случае
W (s) = -as + a2s2/2, со = 0 при в<0 и со = 2 а/а2 при 0. Следовательно,
J a2s2 - 2as a L^2s -2a sj
0
для Re (s) > со и по формуле обращения
W(x)~ - (e a
при а=^0 и 117 (jc)"=2Cx/a2 при a = 0.
250
Решения
7. Если (р М> 0 ^ t < оо} - стационарный процесс, то по теореме 5 § 33
Р(П "><*>-#$¦
для 0 ^ х ^ т и
С e~sx W (х) dx =
W (s) . s log (sfсо)
для .Re (s) > и, где С - отличная от нуля константа, со = е1 а Y и у =
0,5772157.. . - константа Эйлера. По формуле обращения
ОО
wС f (gwc)" + 1
rw = ^.l TJHT2)du-
о
Глава 7
1. В силу (21) § 35
| e~wt ?3 (/, s) dt =
w - s + Я [1 - ф (s)] \ со (до)
для Re (s) > 0 и Re (до) > 0, где ф (s) = р/(р + s), a s = со (до) -
единственный корень уравнения А [1 - ф (s)] = s - w в области Re (5)
0. Далее,
, . Я + w - ц + У(X + w + ц)2 - 4Яц и(до)=- -------------g------ --------
и, таким образом,
^ rfi =_____________________________________________________
______________________________________________________-_
2шр + 5(Я + до - (х) + а>л(Я + до + (х)2 - 4А(х
J e~wt Q (t, s) dt - 2
0
для Re (s) 13* О и Re(t")>0.
2. Пусть ф0 (г) s 1 и
".<*>-. .2 '"Ше- о
/1 + /2+ • • ¦ =&
для ? = 1,2, ..где /ь /2, •.. - положительные целые числа. Легко видеть,
что
k
(ж) = S "fr ч"*-/ (/> (2)
/"!
для k = \,2 Докажем по индукции, что
. (k + z)k~l z
^ = k\ * {3)
Для? = 1 равенство верно. Предположим, что оно верно также для k =2,...,
п - 1. С помощью приведенной выше рекуррентной формулы немедленно
получаем, что оно верно и для k = п, а потому для всех k - \, 2, .
Решения
251
3. В силу (39) § 35 для Re (г) > О
E{e-2M = e-(tm) <г>,
где s = со (г) - единственный корень уравнения
s = z + Я [1 - г|з (а)]
в области Re(s)^0. Если р = Яа<П, то Р {0^ < оо) = со (+0) = 1, кроме
того, Е {0jr} = ха' ( + 0) = х/{1 - р) для р<1 и Е {0J = ха' (+0) = оо
для р = 1. Если р<1, то Var {0J = - ха" ( + 0) = а2х!(\ - р)3, где о2 = Я
(а2 + аа2). Так как {0^, 0 < х < оо} - стохастический процесс со
стационарными независимыми приращениями, то при р < 1 и а2 < оо
НшР|^Д<г|^ je-^dy.
оо
VVar {0Л
4. Имеем W (t, х) = Р {х (и) < си + х для 0 < и < t). Так как для
рассматриваемого пуассоновского процесса в интервале (0, Д<)одно событие
происходит с вероятностью Я txt + о (Д/), а более одного события - с
вероятностью о (Д<), то
х+с At
W (t + At, х) = (1 - Я ДО W (t, х + с Д0+Я Ы j" W (t, х - у + с Д/1) dH
(у) + о (Дг1).
- ОО
Вычитая из обеих частей W (t, х), деля на Ы и устремляя М к 0, получаем
х
(t, х) + Я j W (t, х - у) dH (у)
dW (t, X) . aw O', x) :лг |
дх
для почти всех t^0 и х^0.
5. Имеем W (х) = Р { sup
о< и <
Если с>0 и Я < с, то в силу (23) § 35
5. Имеем IV (х) = Р { sup [х (и) - си] < х), где Е {е *"*} = е
0< и < оо
f е~" dlV (х) =___!____-_____
J W 1 -Я/[с(1+в)] '
о
откуда по формуле обращения W (л:) = 1 - (Л/с) ехр [ - (1 - Я/с) л:] для
х ^ 0.
6. Имеем W (я) - Р { sup [х (и) - с,и] л:}, где
0< и < оо
Е(е-^^} = ехр{-я[1-(т^)2]}.
Если с ^ 0 и Я < с/2, то в силу (23) § 35
1 - 2Я/с
J rflV (*) =
1 -Я(2 + а)/[с(1 +а)2]
21 '
о
252
Решения
где __________ _____________________________
Я /Я2 + 4Яс Я КЯ2 + 4Яс
Yl=1~27 +----------27"; Y2 = 1"27 Тс :
. , с + Я - УX2 + 4Яс , с + Я+ КЯ2 +
4Яс
А\ - л г | А2 - л /-¦ •
с]/Я2 + 4Яс с/Я2 + 4Яс
Отсюда по формуле обращения для х ^ О
IF (*) = 1 +^ie-VlX-^2e-V!X.
' 7. Положим ? (и) = х (и) - си для и 0. Тогда математическое ожидание
E{e-s?(">} = e"'F<s> существует для - 1 < Re (s) < 1, причем
'F - аа 1 Яд S + 1 ~ 2а или <Г(:)- ea(s -у,) (s - у2) s+ d +s)d -s) '
( ) (i+s)(i-s) '
Я + + 4c [с + Я (1 - 2а)] Я - + 4c [с + Я (1 -
2а)]
где у.---------------2с и V2=-Тс-----'
Если с > 0 и с + Я(1- 2а) >0, то у, > 0 и у2 < 0. В этом случае Р{ sup ?
(и) ^ х} = W (х) - собственная функция распределения, а ее пре-
