Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Такач Л. -> "Комбинаторные методы в теории случайных процессов" -> 86

Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.

Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов — М.: Мир, 1971. — 179 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatorniemetodivteoriisluchprocessov1971.pdf
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 .. 91 >> Следующая

0< и < ОО
образование Лапласа равно
J e~sxdW (х) =
(1 +s) у2
Y2-S
что можно получить методом факторизации. По формуле обращения для х ^ 0
W (х) = 1 - (1 + у2) еу*х .
Если с < 0 и с + Я(1 - 2а) > 0, то yt < 0 и у2 < 0. В этом случае Р { sup
? (и) х] = W (х) - собственная функция распределения, а ее пре-
0< и < оо
образование Лапласа равно
' ______(t +Д) YiYa
e~sxdW (х) =-
(Yi - s) (Y2 - s)'
0
что можно также получить методом факторизации. По формуле обращения
W (х)= 1 - + Yl^ V2 еу'х - ^ + Y2^ Yl еУгХ
Y2-Y1 Y1-Y2
для х>0.
8. В силу (5) § 25
w J e~wtQ (t, s) dt - exp A | log- |l - - ---^ ^ j } j 0
Решения
253
для 0 < ву < оо и Re(s)>0, где оператор А определен в § 11. Учитывая, что
1. Так как (а, 6) = 1, можно выбрать такие положительные числа р и q, что
aq~bp= 1. Зададим случайные величины уь Yа+Ь следующим образом: уr - q,
если r-й голос подан за кандидата А, и \г= - р, если r-й голос подан за
кандидата В. Тогда уь Тг> •••, Уа + b ~ переставляемые случайные
величины, принимающие целые значения, причем Yi + ••• +Ye+ft='- Далее,
ar^>afir/b тогда и только тогда, когда ar> p$rlq, или, что то же, + ... +
уг> 0. Поэтому Qj (a, b) = Р {у, + ... + уг> 0 для / индексов г - 1, 2,
..., а + Ь) = = 1/(а 4- ?>), что следует из теоремы 2 § 37.
2. Пусть V], v2, ..., vn - переставляемые случайные величины, принимающие
неотрицательные целые значения. Положим NT = Vj + ... + \т для г = 1, п.
Тогда
Р {N г^г для / индексов г = 1, 2, ..., n\Nn - п} =
= Р {Nn - N г<п - г для п - j индексов r=l,2 n\Nn= п) =
==Р {Nr<r для n - j индексов г = 1, 2............= =
Последнее равенство следует из теоремы 3 § 37.
Зададим случайные величины Vi, v2, ..., v2a следующим образом: vr=0, если
г-й голос подан за кандидата А, и vr = 2, если r-й голос подан за
кандидата В. Тогда v,, v2, ..., v2a - переставляемые случайные величины и
Vi + v2 + ... + v2e = 2а. Положим Nr = Vi + ... + \т для г = 1, 2, ...,
2а. Тогда Qj(a, a) = P{Wr<r для j индексов г = 1, 2, ..., 2a} и
ОО
= А
X + w - cs w
)}-?Мт^Н(
X + w - cs
X + w
)п H>(s))"}.
получаем искомый результат.
Глава 8
-j--Р {Nt = i - 1 | Nn = n) для j = 1, 2, .... n - 1,
лшк i \tl - I)
Отсюда
(s+ 1) (a - s)
2a - 2s - 2
a - s - 1
для = 1, 2, .... 2a - 1 и
Q2a (a, a) = 1 -
'2a - 2s - 1
a - s
a + 1 '
254
Решения
-2
3. Пусть vb v2, vn - переставляемые случайные величины, принимающие
неотрицательные целые значения. Пусть N r = Vi + . .. +vr для г- 1, 2,
..п. Тогда
Р {Nr < г + 1 для j индексов г = 1, ..., ti \ Nn = 6} =
- 2
i = n-j
ДЛЯ j - n - 6+1, Я- 1 и 6=1, 2, п. Эту формулу можно получить аналогично
тому, как мы получили формулу (3) § 37, если учесть, что
существует такое число г, что Nr = г + 1, a i (i = п - j, ..6
- 1) - наибольшее среди
этих чисел г. По теореме 1 § 6
Р {NT<r + 1 для всех г = 1, ..., п \ Nn = k} =
Щ^-rm-i + un.-k)
i = 1
для 6=1, 2, ..., п.
Зададим случайные величины Vj, v2, •••, va + j следующим
образом:
Vf = 0, если г-й голос подан за кандидата А, и vr = p +
l, если г-й голос
подан за кандидата В. Тогда \д,..................v2.va + * -
переставляемые случайные
величины и V!+v2+ ... + va + j = 6 (ц + 1). Положим Nr = vj +
... +vr для
г - 1,2, .. ., а+Ь. Тогда Q/ (а, 6) = Р [Nт <г +1 для ; индексов г =
1,2.а+ 6} и
для i = s (ц + 1) - 1, s - 0, 1, ..., Ь. Таким образом,
Q] (а, Ъ) =
_ V4 (а + 1 - 6ц)________ / а \( Ь \
/( а + Ь \
~ (sp, + s - 1) (а + 6 +1 - sp, - s) \ sp - lj\sj/\sp + s - lj'
a-\-b 1 - / ^ *
-ип-<s<b
если 0 < a- b\i <j< a + b и Qa+b (+ 6) = (а + 1 - Ьц)/(а + b).
4. Пусть vb v2, .... vn - переставляемые случайные величины, принимающие
неотрицательные целые значения. Положим Nr *= vt + ... + \г для г- 1, 2 п
и N0 = 0. По теореме 6 § 37
Р {Л7г < г + 1 для / индексов г=1, 2........п) =
= Р {Nj-N{ </ - г для г = 0, 1, 1 и Nj-Ni<]-i дляг =
у'+1.я) =
/
= 2 р {Nj-Ni<L\ - i для { = 0, 1, ..., /- 1 и Nj = l)X 1=0
X Р {jV f - Ni<j - i для i = j+l, n\N j = l).
По теореме 1 § 6
Р [N] - для г = 0, 1, .... j - 1 и Nj = 1} =
= Р {Nr<r + 1 для r = 1, 2, ..., / и JVj = l) X
/г1
xP(JVi-e-SitS^nfP^-^i и ^у==/}
г=1
Решения
255
Р (Nj - Ni <j - i для i = j + 1, ..n | N, = /} = P {iV/ + 1 - Nj > 1 |
.V/ = /} -
^ (r-i-1)
r = / + 2
p r - N j - r - j, NiH-N, = 0\Nj = ll
что можно получить из общей формулы
п
Р {Nr>r для r= 1....."} = P{,V1>l}-^]-^Ty P{iVr = r, yV, = 0}.
г = 2
Наконец,
P{AV<r+l для j индексов г = 1, 2, ..., п] =
/ ~ 1
Р{ДГ/ = /, N} +1 > / + 1} - У -('+ Р [Nt = t +1, = iV/ + l
>/+1}
и о
i = I
/-=0
/ "
V V
/ = 0 r = /+2 /Г1
¦Ъ (/-t) (г-/-i)
i=i
(Г-/-1)
0 + i - i)
P {N, = 1, N, + l = t, Nr = l + r - j} -
P{iVi = /+l, N/ = t, Nj+i = I, Nr = l + r - j)
Если задать случайные величины vb v2, Va+b> как в задаче 3, то
вероятность Qj (a, b) = P{Nr<r+ \ для j индексов г= 1, 2, а+Ь) можно
найти по приведенной выше формуле, в которой теперь
для 1 <1 / SC / =?7 а + 6 и
Р {А^г = г (р + 1), Nj = s (р + 1), Nu = t (р + 1)} =
для 1 ^ ^ k ^ а + Ь.
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed