Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
- статистики, свободные от распределения.
Н. В. Смирнов [56] доказал, что для непрерывной функции распределения F
{х)
р{/^6<т'л><г)-к<г>- <13>
Я-* со
где функция К (z) определена формулой (7), и
1г.р{/Жб+("''')<г}=1-г-й' <14>
П-> ОО
ДЛЯ 2^0.
Случайные величины б", б", б(т, /г), б+ (пг, п) играют важ-
ную роль в математической статистике. Так как они свободны от
распределения, можно сформулировать статистические критерии для случаев,
когда функция распределения наблюдаемых случайных величин неизвестна.
Далее мы будем заниматься задачами, связанными с величинами Fn(x) -
F(x)(-оо<х<оо) и Fm (х) - Gn (х) (-°o<x<oo).
§ 39. ДИСКРЕТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Сравнение теоретического и эмпирического распределений. Пусть |ь |2, .
.., - взаимно независимые случайные величины с общей
функцией распределения F (х). Пусть Fn(x) - эмпирическая функция
распределения выборки (|1( |2" ?п)> т- е. Fn(x)
определяется как число величин gj, |2, . . ., не превосходящих х,
деленное на п. Обозначим через gi, ?2, ..., In случайные величины g2>
•••> in. расположенные в порядке возрастания их значений.
Рассмотрим отклонения 6" (г) = Fn (gr) - F (gr), r=l, 2, ..., n.
Очевидно, что случайные величины б "(г), г = 1, 2, ..., /г, непрерывны и
различны с вероятностью 1. Их совместное распределение не зависит от
F(x). Если требуется найти распределение
§ 39. Дискретные распределения
183
случайной величины, зависящей только от б"(1), б"(2), бП{п),
То'можно допустить без ограничения общности, что gI( |2, • • •> взаимно
независимые величины с равномерной функцией распределения на интервале
(0, 1), т. е. F(x) - x для Тогда
6"(r) = -^-lr (г = 1, 2, .. п). (1)
Введем еще одну случайную величину и вычислим ее распределение.
Пусть б" = max б"(г). Обозначим через р" число неотрицатель-
1 <Г<Я
ных элементов среди величин Ьп{г), г = 1, 2, ..., п, а через р* то
значение г, для которого функция б "(г), г = 1, 2, . .., п, достигает
своего максимума. Случайная величина р'определена с вероятностью 1.
Чжень [35] показал, что справедлива
Теорема 1. Для /--1,2, . .., п
г=1
Доказательство. Обозначим через vv, г = 1, 2, ..., п, число величин |1;
|2> • • попадающих в интервал ((г- 1)/п, г/п], и положим Nr = vx + . . .
+vr для г = 1, 2, . . ., п. По формуле (1)
бя(0==^0 тогда и только тогда, когда Nr^r. Следовательно,
р" есть число индексов г = 1, 2, ..., щ для которых NT^r. Очевидно, что
vb v2, ..., vn - переставляемые случайные величины, принимающие
неотрицательные целые значения, и Nn = vl+ ... ... + v" = п. Тогда
вероятность Р {р" = /} = Р {А" = п - j | Nn - п] вычисляется по формуле
(5) § 37. Так как в этом случае
<3>
для / = 0, 1, ..., п, то (2) следует из формулы (5) § 37.
Теорема 2. Для / = 1, 2, . . ., п
р{р;=/} = р{р"=/}, (4)
где правая часть определяется по формуле (2).
Доказательство. По теореме 6 § 37 положение максимума в
последовательности ст" (г), г = 1,2, .. ., п, распределено так же, как
число неотрицательных элементов среди величин б" (г), г = 1, 2, ..., п.
Отсюда следует равенство (4).
Распределение величины р' непосредственно нашли Бирнбаум и Пайк [31].
184
Гл. 8. Порядковые статистики
Теорема 3. Если k = 1, 2 п, то
Доказательство. Используя те же обозначения, что и при доказательстве
теоремы 1, имеем для k= 1, 2 п
а правую часть находим из формулы (1) § 8.
Сравнение двух эмпирических функций распределения. Пусть
|2, •••> Ет> ТЬ % rin- взаимно независимые случайные
величины с общей непрерывной функцией распределения. Обозначим через
Fm(x) и Gn(x) эмпирические функции распределения
выборок (?,, |2.....?т) и (ri,, ть ..., Ti") соответственно, т. е.
Fm (х) - это число величин |2, ..., |т, не превосходящих х, деленное на
m, a Gn(x) - число величин т),, %, ..., ri", не превосходящих х, деленное
на п. Обозначим через г)*, т]*, ..., г\п случайные величины т),, г)2,
..., л\п, расположенные в порядке их возрастания.
Пусть у(т, п) - число индексов г=\, 2, ..., п, для которых (т)*) ^ &П (л*
- 0), т. е. у (т, п) - число положительных скачков функции Gn(x)
относительно Fm(x). Положим
Легко видеть, что у (т, п) и б+ (т, п) являются статистиками, свободными
от распределения.
Теорема 4. Если п = тр, где р-положительное целое число,то
для / = 0, 1, ..., п.
Доказательство. Пусть vr, г=1, 2 п+ 1, -число
величин |2, • • •. Ът> попадающих в интервал (т)*_,, т)*] (где t)q = -
оо, т)* , = оо), умноженное на р. Положим Nr = v, + .. + v, для г = 1,
..., /г+1. Тогда V], v2, ..., vrt+1 - переставляемые случайные величины,
принимающие неотрицательные целые значения, а их сумма Nn+l = Vi+ ...
+v"+I равна тр. Далее,
6+ (т, п) = sup [Fm(x)~ Gn(x)].
(7)
Р{у (т, ") = /}= !/("+ 1)
(8)
Р {Nt = sp} =
(9)
§ 40. Непрерывные распределения
185
для г=1, 2, п. Очевидно, что F"(л*) = Nrjтр и G"(ri* - 0) = - {г - 1 )/п
для г = 1, 2, ..п. Если п = тр, то Nn+l = п, а случайная величина у(т, п)
равна числу индексов г=1, 2, п, для которых Nr<r. Так как Nn+l<n + I, то
