Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Такач Л. -> "Комбинаторные методы в теории случайных процессов" -> 58

Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.

Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов — М.: Мир, 1971. — 179 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatorniemetodivteoriisluchprocessov1971.pdf
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 91 >> Следующая

(60)
0
¦X j [l-W(u)]H(x-u)du (61) 0
для x ^ 0.
Если Xa<c и c^O, to
J e~s*dW(x) = A(s)
для Re(s)^0, а если Xa<c и c<0, to
для Re(s)^0, где
A (s) = exp j - J e~sx dM (x)
(62)
(63)
(64)
168
Г л. 7. Процессы разорения
и
ОО оо
М(х) = J e~%vun~x [ 1 - Нп{х + си)] du, (65)
"=1 о
или
М (х) = J ^ ("} ^ du (66)
о
при х^=0.
Формулы (62) и (63) легко доказать с помощью соотношения
(23) § 11. Положим ?= sup ?(и). Если с^О, то
О < и < оо
?= sup ?(тг + 0) = sup (xi+ ... +Хг-стг), (67)
0<r < OO 0<r < OO
а если c<0, to
? = sup ?(тг-0) = sup (x,+ ... +xr-i + CTr). (68)
l<r<oo < OO
В соответствии с этим, если \т - %г - с (хт - хг-{) для г=1, 2, то для
с^О формула (67) дает
? = sup (0, gj, gj -f- g2. • • • > h+ • • • + lr, • • •). (69)
где %!, |2> •••> ...-взаимно независимые и одинаково рас-
пределенные случайные величины. Если Е {?г} = а - с/А, < 0, то ? -
собственная случайная величина, а преобразование Лапласа - Стильтьеса
распределения Р{?^х}=1Е(х) определяется по формуле (23) § 11. Если Е {?г}
= а - сД ^ 0, то Р{? = оо}=1, т. е. W(х)= 0 для всех х.
Если = Хг - с(тг+1 - тг) для г = 1, 2, ..., то для с^О фор-
мула (68) дает
? = - cti + sup (0, I,, |i + g2, • • •, Ii + ••• + Er> • • •)" (70)
откуда ? = ст, + ?*, где величина ?* не зависит от т, и имеет
такое же распределение, что и (69).
Замечание. В заключение приведем небольшой обзор исторического развития
математической теории разорения. Асимптотическое распределение процесса
разорения (х(и), 0^"<оо) было впервые изучено в 1903 г. Лундбергом [21] и
далее исследовалось им же в работах [22-26]. Лундберг заметил, что если
Е(х(и)} = рм и Var{x(")} = cr2", где число а2 конечно и положительно, то
JSir[s^-<x]-Thrlr"d*- (71)
- оо
§ 35. Процессы разорения в страховом деле
169
Погрешность нормального приближения оценили Крамер [9, 10] и Эссеен [18].
Приближенную формулу для Р {% (и) - рм ^ хи} при х<0 дал Эстер [17], а
потом его метод развивали Крамер [11] и Феллер [19].
Функцию разорения Р {0* < оо} = 1 - W (х), определенную соотношением
(55), ввел Лундберг [23, 25, 26]. Для случая положитель-'ных страховых
сумм (Я(0) = 0) Лундберг нашел, что 1 = W(x)^.e~Rx при и 1 - W{х)~Ce~Rx
при х->оо, где R и С - положитель-
ные константы. В 1926 г. Крамер [9] обнаружил, что при Ха<с и Я(0) = 0
функция W (х) удовлетворяет интегральному уравнению типа Вольтерры
X
с[1 - W(x)] = Xa-l J W{u)[\- H{x-u)\du (72)
о
для х^О. В 1930 г. Крамер [10] нашел преобразование Фурье функции W (х)
(формула Полячека - Хинчина в теории очередей). Для постоянных страховых
сумм функция W(х) была найдена в явном виде Феллером (см. также Сегердал
[31, стр. 88]). В этом случае ее еще раньше нашел Эрланг (см. [20] в
литературе к гл. 5). Для произвольных страховых сумм Сегердал [31 - 33]
показал, что 1 - W {х) ^.e~Rx при х^0 и 1 - W (х) ~ Ce~Rx при х->оо. В
1937 г. Крамер [12] доказал, что в случае произвольных страховых сумм W
(х) удовлетворяет интегральному уравнению (61). Решение интегрального
уравнения (61) в виде (62) и (63) дали Тэклинд [36] и Крамер [13].
Моменты случайной величины 0*, определенной формулой (6), вычислили
Лундберг [23] и Сегердал [31].
Функцию разорения Р{0л^/} = 1 - W(t, х), определенную формулой (54),
изучал первым Саксен [29, 30]. В случае отрицательных страховых сумм
Саксен [29] вывел интегро-дифференциальное уравнение (58), а для
отрицательных и постоянных сумм он нашел решение (48). В 1950 г.
Арфведсон [2] получил интегро-дифференциальное уравнение (58) и нашел
явное выражение для W (t, х) в случае, когда страховые суммы являются
положительными экспоненциально распределенными случайными величинами
(формула (33)), а также в случае, когда страховые суммы являются
отрицательными экспоненциально распределенными случайными величинами
(формула (51)); см. также Арфведсон [3]. Для положительных и постоянных
страховых сумм функцию W(t, х) нашли Саксен [30] и Арфведсон [4] при t =
тп/с и х = п (m, п - неотрицательные целые числа). Арфведсон [4] нашел
также W(tn/c, п) для отрицательных и постоянных страховых сумм. Для
случая, когда страховые суммы положительны или только отрицательны,
Арфведсон [6] нашел двойное преобразование Лапласа - Стильтьеса
170
Гл. 7. Процессы разорения
функции W.{t, х). Для произвольных страховых сумм метод определения W {t,
х) предложил в 1955 г. • Крамер [14]. (См. также работу Бакстера и
Донскера [1] в гл. 4.)
§ 36. ЗАДАЧИ
1. Рассмотреть пример 2 раздела "Положительные страховые суммы". Найти
функцию й (t, s), определенную формулой (20).
2. Доказать, что
(k + z)k~l y1 • /М -
2 г, = 7j
k\ /1I/2I
2 i/=k
для 6 = 1, 2,... и всех 2 (Арфведсон [4] ).
3. Доказать формулы (40), (41) и (42).
4. Доказать формулу (58).
5. Найти функцию W (х), определенную формулой (10), где
Н(х)\ ПРИ
L 0 при х < 0,
а с - положительная константа.
6. Найти функцию W (х), определенную формулой (10), где
( 1 - е~2х (1 + 2х) при *>0,
Н (х) = {
( 0 при х < 0,
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed