Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Такач Л. -> "Комбинаторные методы в теории случайных процессов" -> 66

Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.

Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов — М.: Мир, 1971. — 179 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatorniemetodivteoriisluchprocessov1971.pdf
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 91 >> Следующая

Р {Y+W ^х} = Р {v(") ^Я (и + х) для 0 г^и ^ 1}, (40)
а правую часть находим по формуле (37) при а = х и с = 1/Я.
Теорема 7. Для х>0
P{v-(""*)-l- S Ытт)рМт + *Н}' (")
0</< Л(1-je)
где распределение величины v(n), O^n^l, определяется по формуле (36).
Доказательство. Имеем
Р (V~ М х} = Р {Ян - v (и) Ях для 0<н<1}, (42)
а правую часть находим по формуле (38) при а - х и с= 1/Я.
Теорема 8. Для 0<х<!1
оо
р(б+s
/г=" 1 /гя< / < /г
XP{v(J-*) = /}p{v(*+l-i-) = 6-/}, (43)
§ 40. Непрерывные распределения
193
где распределение величины v(и), O^u^l, определяется по формуле (36).
Доказательство. Имеем
Р {б+ (К) = Р {v (u) + х) v (1) для 0 и ^ 1}. (44)
Если v(1) = ?, к-\, 2, и в (37) положить а = х, c=l/k, то получим
p(6+ax*iv(i)=6} =
= 1" 2 (k(x + l)-)p{v(f-*) = /lv(l) = fe}, (45)
откуда
p(6+axx} = p{v(i)=o}+
оо
+ 2 р {V (1) = k) Р [б+ (*,)<* Iv (1) = к), (46)
k=\
и теорема доказана.
Теорема 9. Для 0<х<1
ОО
pl<r(a.)<*} = P{v(i)>o}-E S (1x7)х
k=i 0<Kk(l-x)
ХОХ/Н'ф-ХН-ф <47>
где распределение величины v (и), О^.и^.1, определяется по формуле (36).
Доказательство. Имеем
p{fi~aX*} =
= P{"v(l) - v("X*v(l) для 1} - P{v(l) = 0}. (48)
Если v(l) = ?, k=\, 2, ..., и в формуле (38) положить а - х, с = l/k, то
получим
P{fi"(A,X*/v(l) = *} =
2 (тТХЫХИи1)-*}' <49>
откуда
оо
р (а-ахх} = s ра(1)=к)р (а-ахх 1 v(1)=к), (50)
и теорема доказана.
194
Гл. 8. Порядковые статистики
Замечание. Положим
V(A.)= sup
- оо < X < оо I
¦Fb(x)~F(x)
(51)
Ясно, что у (Я.) - статистика, свободная от распределения. Кац [49]
доказал, что
lim Р {У W ^ z) = L (г),
где
L (z) =
ОО
4 у (-1); / (2/4-0" я"
я jU 2/ + 1 еХР \ 8Z2
/=о
О
при 2>0, при 2^0.
(53)
задачи 1 найти Qj{a, Ь) при Ь = а и р
: рР И р ^
= 1 (см. Энгель-0 - целое число
§ 41. ЗАДАЧИ
1. При баллотировке кандидат А набирает а голосов, а кандидат В набирает
Ь голосов, причем всевозможные избирательные протоколы равновероятны.
Обозначим через аг и рг числа голосов среди первых г бюллетеней, поданных
за А и В соответственно. Пусть Qj(a, Ь) - вероятность того,
что точно для
/ индексов выполняется неравенство ar ppr, r= 1, 2, ..., а + b, a Pj(a,
Ь) -
вероятность того, что точно для / индексов выполняется неравенство аг >
ррг, г - 1, 2, ..., а + 6.
Найти Qj{a, 6), если а и 6 взаимно просты и р = а/6 (см. Бизли и Гроссман
[9] ).
2. В условиях берг [ 15] ).
3. В условиях задачи 1 найти Qj (а, 6), если а',
(см. Энгельберг [15] ).
4. В условиях задачи 1 найти Qj (а, 6), где р - неотрицательное
целое число.
5. В условиях задачи 1 найти Qa+b (а. 6) и Ра+ь-\ (а< 6) при a =
km, b = kn,
(m, я) = 1 и р = а/6 (см. Гроссман [21] и Бизли [8]).
6. В условиях задачи 1 найти Pj (а, 6), / = 0, 1, ...,а+6, при а =
km, 6 = kn,
(пг, п) = 1, р = а/6.
7. При баллотировке кандидат А набирает а голосов, а кандидат В набирает
6 голосов, причем всевозможные избирательные протоколы равновероятны.
Пусть аг и рг - числа голосов среди первых г избирательных бюллетеней,
поданных за А и В соответственно, причем а0 = р0 = 0. Для 0 ^ и ^ а + 6
зададим а (и) и р (и) следующим образом: а (и) = аг (г + 1 - и) 4-
аг+1 (и - г), если
г^а^г+1, и р (и) = рг (г + 1 - и) + рг+1 (и - г), если г^а^г+1. Если
бюллетени опускаются в моменты и = 1, 2, ..., а + 6, то а (и) и р (а) (0
< и < ^ а + 6) описывают временные флуктуации чисел голосов/поданных за А
и В соответственно. Обозначим через ба, * полное время в интервале (0, а
+ 6), в течение которого А занимает лидирующее положение, т. е. 6Q, j -
мера множества {и: а (и) > р (и) и 0 ^ и ^ а + 6). Найти распределение
случайной вели-
чины 8а,ь (см. Чжун Кай-лай и Феллер [13]).
8. Пусть |[, ?2- ..., %,п - взаимно независимые случайные величины с
общим непрерывным и симметричным распределением (т. е. Р {?г = х) = 0 и
P{?r<[x} = = Р{?г> - х) для всех х). Положим to = 0 и Sr = ?i + ... + для
г = 1, 2, ..., а. Пусть А"- число неотрицательных (положительных) членов
в последовательности ?ь ?2> Sn- Найти Р{рл = /) для / = 0, 1, ..., п (см.
Андерсен [1] и Дарлинг [14] ).
Литература
195
9. Пусть в условиях задачи 8 (а0 (п), Oi (п), ..ап (п)) - такая
перестановка множества (0, 1,..., и), для которой (п) < ? (п) < ... < ?а
(п). Найти
Р (ri) = /}, / = 0, 1,..., я (см. Дарлинг [14] и Андерсен [4]).
10. Пусть g[, Sj2 1п~ взаимно независимые и одинаково распределенные
случайные величины с общей непрерывной функцией распределения F (х).
Пусть Fn С*) - эмпирическая функция распределения выборки (gb In)-
Доказать,
что статистика
б" = sup | F" (х) - F (х) |
- ОО < X < ОО
свободна от распределения.
11. Пусть ?2> ?я> Ль Лг. Ля - взаимно независимые случайные
величины с общей непрерывной функцией распределения. Обозначим через Fn
(х) и Gn(x) эмпирические функции распределения выборок (§j, Е;2, ..., ?я)
и (Ль Лг. • ••> Ля)- Положим
б +{п,п)= sup [Fn(x)-Gn(x)]
- оо < X < ОО
б (и, п) = sup | Fn (х) - Gn (х) I.
- ОО < X < ОО
Найти распределение и асимптотическое распределение величины б+ (п, п).
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed