Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
(8) следует из теоремы 2 § 37, примененной к случайным величинам 1 - v,,
1 - v2, ...
..1 -v"+1.
Для р = 1 теорему 4 доказали Б. В. Гнеденко и В. С. Миха-левич [45];
доказательство для р ^ 1 приведено в работе [46].
Теорема 5. Если п = тр, где р - положительное целое число, и с -
неотрицательное число, то
Р |б+ (т, ")<^} =
_1_______1 V1 с + 1 /sp + s - с - 1\ (шЛ'пЛ'С - sp - s\
~ /гаг + п\ ^ га + с + 1 - sp \ s J \ гаг - s ) '
\ гаг J -<s<m
(Ю)
Доказательство. Используя те же обозначения, что и при доказательстве
теоремы 4, имеем для п - тр
6+(m, tt)= max [Fm(T];)-G (ti;-0)]==-^ max (Wr-r+1).. (11)
l<r<nL v ' 4 l<r<n+l
Таким образом,
P |б+(т, tt)<-^-|= P{yVr<r+ c для r = 1, 2, ..., n+ 1}, (12)
а правую часть находим из теоремы 1 § 6, применяя ее к слу-' чайным
величинам vb v2, ..., v"+i, определенным в доказательстве теоремы 4.
Распределение величины Nt находим по формуле (9), причем Nn+i=n.
Если р= 1, то (10) принимает вид
( 2т )
• (13)
Распределение случайной величины 6+ (т, п) для п = т получили Б. В.
Гнеденко и В. С. Королюк [44], а для ц = тр, где р - положительное целое
число, В. С. Королюк [51].
§ 40. НЕПРЕРЫВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Сравнение теоретического и эмпирического распределений. Пусть !i, |г,
..., \п~ взаимно независимые случайные величины с одинаковой функцией
распределения F(x), и пусть Fn(x) - эмпирическая функция распределения
выборки (|t, |2> ¦••> !")> т- е. число
186
Г л. 8. Порядковые статистики
величин ?i, ?2> • Еп. не превосходящих х, деленное на л. Обозначим
б? = sup [Fn (х) - F (*)] (1)
- оо < X < ОО
И
Ьп = sup [F(*)-F"(x)]. (2)
"* оо < X < оо
Это свободные от распределения статистики. Для нахождения их
распределений можно без ограничения общности считать, что F(x) = x при
0<Д<Д. Тогда
Р {б" < х) = Р { sup [х" (и) - и] < х} (3)
0< "< 1
и
р{б^<х} = р{ sup [и - х" (и)] < х), ' (4)
0< а < 1
где [%п(и), 0 -случайный процесс, определенный следую-
щим образом. В интервале (0, 1) выберем независимо п точек, причем'каждая
из них имеет в (0, 1) равномерное распределение. Обозначим через %п{и)
отношение числа точек, попавших в интервал (0, и), к л. Тогда {Хп(и). О ^
и ^ 1} - процесс с переставляемыми приращениями, а %п{и), 0 ^ и ^ 1, -
.неубывающая ступенчатая функция; Р {Ха (0) = 0} = 1 и Р {%п (1) = 1} =
1. Кроме того, для 0<"<1 и у = 0, 1л
р{хЛ") = ^} = (") "У(1 ~и)пЧ (5)
и для и 0 л
-р{хЛ") = -^> x"(w) = |-} =
= 1i~(k-j)i (n-k)\ uJ(v~u) ;(l-w) (6)
Для того чтобы найти распределения величин dt и б", можно воспользоваться
теоремой 1 § 15 и теоремой 1 § 17 соответственно.
Теорема 1. Если 0<х<Д, то Pl6^<x) = P{6-<x) =
s (7)
nx^j
Доказательство. Согласно формуле (1) § 15, для х>0
§ 40. Непрерывные распределения
187
а согласно формуле (1) § 17, для х>0
Р{ sup [и-X*(и)Ю) = 1 " 2] 17рЬ^п(у) = У-х}- (9)
Так как Р {%п (у) = х} = 0, если х ф j/n, } = 0, 1, то (8) можно записать
в виде
Р{ sup [хп (")-"] <¦*:} =
S ЫЬт)р {*.(?-*)-?}¦ с")
а (9) - в виде
Р{ sup_ [и - Хп (")] < х) =
= >- S УттИьЬг+'Н}- CD
0</<n(l-*)
Распределение величины %п(и), 0 ^ и ^ 1, определяется по формуле (5).
Итак, (7) доказано. Очевидно, что (10) и (11) эквивалентны.
Распределения случайных величин 6^ и 6" были найдены
Н. В. Смирновым [57]. См. также Вальд и Вольфовиц [66], Бирн-баум и
Тинджи [32], Ван дер Варден [65] и Демпстер [37].
Аналогично можно найти функции распределения следующих статистик:
бл (а, р, у)= sup [/=¦" (х) - \F (*)] (12)
a<F(*)<P
р+(а, р, у) = sup Г-" (X)p~(lF (Х) ]" О3)
a<f(jc)<pL г [х) Ц
где 0^а<р^1 и v^l.
Легко видеть, что статистики 6* (а, р, у) и рt (а, р, у) свободны от
распределений. Поэтому при нахождении их распределений можно
считать, что F(x) = x для Тогда
Р {б^ (a, р, у)<х} = Р{ sup [х" (") - уы] < х} (14)
а<ы<Р
И
Р{р+(а, Р, у)<*} = р/ sup [x"(a)"YM1<A (15)
U<u<pL U J J
где случайный процесс {%п (и), 0 < и < 1} определяется, как и выше.
188
Гл. 8. Порядковые статистики
Если принять во внимание, что %п(и) - дискретная случайная величина для
1, то небольшая модификация теоремы 1
§ 15 даст нам формулу
Р{ sup [сх" (ы) - ы] < а} = Р (схЛР) - Р < я)-
" S S (fej) Р (У) ==а + У' сЪп (Р) = а + z) (16)
а < у<z< р
для 0^а<р^1, а^О, с^О. С помощью этой формулы легко получить
распределения (14) и (15).
Теорема 2. Для х^О
Р{б"+(а, р, у)<*} = ? Р{Х"(Р) = 4
ft<rt(x + PY) п (х+ау) < / < k < п (X+0Y)
(17)
где вероятности в правой части задаются формулами (5) и (6). Если, в
частности, Р= 1, то для х^О
Р {б^ (а, 1, у)<*} =
S Ш§=тЖ^К}- "•)
ге(*+а\)< /<ге
Доказательство. Если в формуле (16) положим а = х/\ и с = 1/у, получим
правую часть равенства (14). Формулу (17) получим, если примем во
внимание, что Р{с%п(у) - а + у, с%п(р) = = а + z) = 0, за исключением тех
случаев, когда y = (j - пх)/п\ и z = {k - пх)/пу, где 0 /г п. Если
р=1, то (17) сводится
к (18), так как Р{хЛ0= 0= 1-
Теорема 3. Для х^О Р{р" + (а, р, у)<*} = р{хп(Р) = ?}-
fc<fiP(x+Y)
SS ( яр (jc + y) - / ) Р{Хп\п(х'+у)) = Ч' Хп (r) = Д}'
