Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
?2........?я- Пусть р" - индекс первого среди максимальных членов в
последовательности ?0, . .., ?п, а р* - индекс последнего
среди максимальных членов в этой последовательности. Тогда
Р(Д"-Ч = Р{р"-Ч (20)
р (д; - *} - р (р;=*} (г"
для k = 0, 1, ..., п.
С помощью этой теоремы легко доказывается
Теорема 7. Пусть v1; v2, ..., v" - переставляемые случайные величины,
принимающие неотрицательные целые значения. Положим Nr = Vi+ ... + vr для
г=1, 2, ..., п и N0 = 0. Пусть Д" - число индексов г = 1, 2, ..., п, для
которых NT<r. Тогда
П
Р {Д" = 0} = 1 - 2] у Р = г - 1}
i"l -
(22)
§ 37. Другое обобщение теоремы о баллотировке
179
U
Р{Д" = /} =
= S(I-j) P{iV/ = /}- S = = (23)
i=o L i=/+i
(Эля / = 1, 2, ..n.
Доказательство. Имеем
P {A" = 0} = P {Nr ^ г для r = 1, 2, ..., n}, (24)
а правую часть можно найти из теоремы 1 § 8. Отсюда сле-
дует (22). Если /= 1, 2, .. ., п, то в силу теоремы 6
Р {An = j} = P{r-Nr<j- Nj для г = 0, .. ., j - 1
и г - < / - Nj для г - /, ..., п}, (25)
откуда
/
Р = Я = 2 Р iNi - Nr < j - г для г = 0, ..., / - 1 | JV/ = /} X
1=0
X Р {Nj - Nr О - г для г - j п и Nj - l}. (26)
По теореме 1 § 4 первая вероятность в правой части равна (/ - /)// и по
формуле (3) § 8 вторая вероятность равна
П
Р {Nj=t}~ 2 -^*{N, = 1, Nt-N, = i-j-l}. (27)
(=/+i
Это доказывает формулу (23), а вместе с ней и всю теорему.
Замечание. Если А/; / = 1, 2, ..., /г,-число индексов г = 1, 2, ..., /,
для которых Nr<r, то, согласно формуле (26), /
P{A" = /|iV" = ^} = 5](l-|)p{iV/ = /}P{A"_/ = 0|iV"_/ = ^-/} (28)
г=о
для /=1,2 п.
Теорема 7 позволяет находить вероятности Pt, / = 0, 1, ..., а + &, в
случае, когда р^О -целое число. Если использовать те же обозначения, что
и при доказательстве теоремы 4, и принять во внимание, что в этом случае
//Ui-/We + 6-/\
Р {N j = s (р + 1), Ni-N, = r(ii+l)}=U П 5 г' (29)
\ а )
для 0 < / < i < а + Ь, то из теоремы 7 будет следовать
180
Гл. 8. Порядковые статистики
Ро= 1
Теорема 8. При р^О 1
("Г)
V_____________________________________
1__________________________________ /5|1 + 5+ 1 \ /й - Ь - 5(1 -
5 - 1 \
fs (|Л + 1) +1] \ S Jl b-s )
(30)
а+Ь-1
Ц+1
Р,=
V V (/ - яц - я) //W.
Lk Lk /(гц+г+1) Ы\
0<5<Ц-:
|А + I
0<f<a + 6 Ц+1 H+l
гц + г + 1^а - Ь - 1 - / - гц ¦ b - s - г
(31)
для j = 1, 2 а + 6. Если j<a - Ьр или j^a(p+ 1)/р, то Pj = 0.
Если использовать обозначения Р,- = Р/(а, 6), указывающие зависимость Ру
от числа голосов, поданных за Л и за В, то по теореме 8
? (1-ат1)(()П17,)р"<"+1-ь4-1>-
I a j
(32)
§ 38. ПОРЯДКОВЫЕ СТАТИСТИКИ
Пусть |i, |2> •••> - взаимно независимые случайные вели-
чины с одинаковой функцией распределения Р (gr ^ х) = F (х) (/•= 1, 2,
л).. Случайные величины образуют выборку размерности п. Обозначим
через (|i, ?2.....?я) случайные величины
Ij, |2> •••> Sn" расположенные в порядке возрастания. Случайная величина
называется r-й порядковой статистикой выборки (|], |2, •••. In)-
Определим эмпирическую функцию Fn(x) распределения выборки (|ь |2. • ••>
In) как число величин |г, не превосходящих х, деленное на л. Для каждого
х эмпирическая функция распределения Fn(x) является случайной величиной с
распределением
p{p"W = |} = (^)[PWlft[i-PWr-ft (* = о, 1, ..., л). (1)
Рассмотрим бесконечную последовательность взаимно независимых и одинаково
распределенных случайных величин ?ь |2, ...
..., ... с функцией распределения Р{?" = F(x), п = 1, 2, ...,
и для каждого л= 1, 2, ... образуем эмпирическую функцию
§ 38. Порядковые статистики
181
распределения Fn{x) выборки (?], |2, •••, In)- Тогда, согласно
слабому закону больших чисел, для любого х
lim Fn {х) = F {х) (2)
П-> ОО
по вероятности, а согласно сильному закону больших чисел для любого х
YmFn(x) = F(x) (3)
П-^со
с вероятностью 1. Обозначим
б" = sup | Fn {х) - F (х) |; (4)
- ОО < X < ОО
по теореме Гливенко [43]
Р{lim б" = 0} = 1. (5)
П-> со
А. Н. Колмогоров [50] доказал, что если функция распределения F(x)
непрерывна, то
lim P{y^6"<z} =K{z), (6)
П-> ОО
где К (z) - функция распределения, не зависящая от F(x) и имеющая вид
2 (-1Уe~2iV при z>0,
' = -оо
K(z)= I 0 при 2=^0.
(7)
Если
б " = sup [Fn{x)-F(x)\ (8)
- оо<х<оо
и
бп= sup [F (х) - Fn (*)], (9)
-°°<Х< ОО
a F(x) - непрерывная функция распределения, то независимо от F(x)
lim P{//z6^<z}= lim P [Vn bn <z} = 1 -е-2г' (10)
П-> OO n-> OO
ДЛЯ 2^0.
Случайные величины 6n, б", 6J называются статистиками, свободными от
распределения.
Рассмотрим теперь две последовательности взаимно независимых и одинаково
распределенных случайных величин |b |2, ...,|т, ... и Ль Лг Лп, причем
P{|m= Р{rin <*} = F(x) (m = 1, 2, ...;
182
Гл. 8. Порядковые статистики
п= 1,2,...). Пусть Fm (х) - эмпирическая функция распределения
выборки (|lf |г> •••> im)> а ('лW - эмпирическая
функция
распределения выборки (тр, %, г)п).
Обозначим
б(m, п)= sup \Fm{x)-Gn{x)\ (11)
- оо<я<со
и
6+(пг, п)= sup [Fm{x)-Gn{x)\. (12)
- °о<*< оо
Если F {х) - непрерывная функция распределения, то б (пг, п) и б+ (tn, п)
