Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Такач Л. -> "Комбинаторные методы в теории случайных процессов" -> 57

Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.

Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов — М.: Мир, 1971. — 179 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatorniemetodivteoriisluchprocessov1971.pdf
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 91 >> Следующая

1 -(к+и)у
Г IX.) у
= 1 -Ке~^х J х + у - \xJ(Яру{х + у)) + yJ (Яру(х + у))]dy (33)
о
для х ^ 0, а при р = Я/р < 1
для х>0.
Отрицательные страховые суммы
Предположим, что страховая компания занимается только операциями с
рентой. В этом случае общее количество страховых сумм, выплачиваемых
компанией в интервале времени (0, и], равно Й(м)= - х(м), где (х(м), 0
<н< оо} -обобщенный пуассоновский процесс с теми же свойствами, что и
процесс, введенный в предыдущем пункте. Распределение величины %(и)
задается формулой (11); обозначения (12) -(15) мы будем использовать для
процесса {% (и), 0^м<оо} без изменений.
В этом случае число с отрицательно и выбором подходящей денежной единицы
его можно сделать равным -1.
164
Гл. 7. Процессы разорения
Теперь наша задача свелась к нахождению функции
W(i,x) = Р{ sup [ы - %(")]<*} (35)
0<и<<
для конечных значений t, а также функции
W (х) = Р { sup [и - % (и)] < х}. (36)
0<Ц < оо
Ее можно решить с помощью теорем § 17.
По теореме 1 § 17
t
W{t,x)=\-\^dy9{y>{y)<;y-x) (37)
X
для 0 <x^t, а по теореме 3 § 17
оо
W(x)=l- j fdyP{x(y)^y-x}=l-e-*x (38)
X
для х>0, где ш - наибольший неотрицательный вещественный
корень уравнения Ф(") = ". Если O^p^l, то ш = 0, а если р> 1,
то ш>0.
Далее,
Е{е-гвх} = е~тю (39)
для х>0 и Re(z)>0, где s = ш(z) - единственный корень уравнения Ф(") = 5
- z в области Re(s)^0. Отсюда
Е{0Д = т^ (40)
при р < 1 и при, р<1 и ст2 < оо. В силу теоремы 9 § 29
Z
lim Р { Хж1"!? <'21 = 7Г* I е~У'12йУ' (42)
*->оо I У ст2*/(1 - р)3 J У 2л •>
- 00
если р < 1 и ст2 < оо.
Пример 1. Если
для х^а, для х < а,
Уаг{0Д = 7Т^т (41)
ЯМ-Ц
(43)
то Ы*
Р {х (и) = ak} = е~Ки (44)
§ 35. Процессы разорения в страховом деле
165
для k = О, 1, 2, .... Тогда формула (37) дает
1<<-*)/а1
Г(/, лс)=1- ^ -JL-p{x(a] + x)=>aj}=>
aj + х
/-о
Ш-х)/а]
= 1-?{%(х) = 0}-Кх J] уР{х(aj + x) = a(j-l)} (45)
/=i
для 0<л:^/, а формула (38) -
W(x)^l-e~ax (46)
для *>0, где со - наибольший неотрицательный вещественный корень
уравнения Я, (1 - е-аш) = со.
Замечание. Из (45) следует, что для 0 <х ^ /
l(t-x)la] . j
W(t, х)= 1 -е~Хх-кх е-*<"/+*> [я(а/у)]-. (47)
/-1
Саксен [29] нашел, что
W(t. X (4) Jfe" . (48)
fc=I 2 /,-*
' /(>0
Сравнивая (47) и (48), мы получаем интересное тождество
Z{k + z)k~' = у г/, М' - (49)
2 /г! /,! /21 ... ' ^
2/,-*
г /г>0
справедливое для k= 1, 2, ... и для всех г.
Пример 2. Пусть
( 1 - е~"х для х ^ 0,
Я(дс)= п (50)
I 0 для х < 0.
Тогда в силу (37)
t
± dP {X (У)<У~ х) У
W(t, х) = 1 - е-ь* +jf --{х {y}fy- dy =
X
t
= 1 - е~Хх - \\ixev-x J e~^+^yJ'(X\iy(y - x))dy (51)
X
для 0 < x ^ /, где функция J {x) задана формулой (32).
166
Гл. 7. Процессы разорения
Если р = A/jx < 1, то (о = 0, а если р = А/р, > 1, то со = Я - ц. Тогда
(38) дает
W(x)= 1 -e-№-i*>* (52)
при х>0 и Я>ц.
Произвольные страховые суммы
Пусть теперь страховые суммы могут принимать как положительные, так и
отрицательные значения. Иначе говоря, {/(ы), 0 ^ и < оо} - пуассоновский
процесс и его распределение задается формулой (2). Тогда %(и) можно
представить в виде суммы случайного числа случайных величин:
*(") = 2 Ъ, (53)
0<тг<и
где Xi> Хг> • • •" %t> ¦ • • - взаимно независимые и одинаково
распределенные случайные величины с функцией распределения Н (х), а ть
т2, .. ., т.. . - моменты наступления событий данного пуас-соновского
процесса. Случайные величины {%,¦} и {rj независимы. Кроме того, разности
т(- - тг_[ (/=1,2,...; т0 = 0) являются взаимно независимыми и одинаково
распределенными случайными величинами с функцией распределения F(x)= 1 -
е~Кх аля х^О. Обозначим а = Е{хг}.
Положим t,{u) = %{и) - си для м^О. Тогда
W(t, х) = Р { sup ? (и) < х} (54)
0<и<(
И
W {х) = Р { sup ? (и) х}. (55)
0<ы < оо
Для х ^ 0 имеем W (t, х) = e~Kte {х + ct) +
6 (t, X, с) х + си
+ J J W(t-u, x + cu-y)e-b"XdudH(y), (56)
0 -оо
где е (х) = 1 при х > 0 и е (х) = 0 при х < 0; б (t, х, c) =
t при с ^ 0
и б (t, х, с) = min (t - х/с) при с < 0. В самом деле,
PI sup ?(ыХх|т, = ы и %i = y\ =
\о<ы<( )
&{x + ct) при u>t,
W(t - и, х + си - у) при u<6(t, х, с), (57)
0 в' остальных случаях.
§ 35. Процессы разорения в страховом деле
167
Взяв математическое ожидание от (57) по хх и %ь получим (56). Решив
интегральное уравнение (56), найдем W (t, х).
Из уравнения (56) можно вывести интегро-дифференциальное уравнение
дW (t, х) дW (t, х) ,
д t ~С дх
W
(t, х)- J W(t, x-y)dH(y)
, (58)
справедливое для почти всех (t, x)(t^ 0, х^О).
Рассуждая так же, как при выводе уравнения (56), получаем
б (X, с) х+си
W
(х) = J J W (х + си - у) e~luXdudH (у)
(59)
прих^О, где 6(х, с) = оо при с^О и 6(х, с)= - х/с при с<0. Если Ха<с, то
U7(oo)=l, a W (х) определяется по формуле (59). Если Ха^с, то U7(oo) = 0,
откуда W (х) = 0 для всех х.
Те же рассуждения, что и при выводе уравнения (58) из (56), дают
cW'(x) = X W(x) - J W(x-y)dH(y)
- оо -
для всех х^О. Проинтегрировав (60) от х до оо, получим
оо х
c[l-W(x)\ = X J'[l-H{u)\du + X J [1 -W(u)]du-
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed