Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
429
ное 2я, соответствуют одвюй и той же точке пятимерного пространства, если
значения х1 одни и те же. Из одного этого предположения еще не следует
существование замкнутых геодезических без разрывов в их направлении.
Эйнштейн и Бергман ([20], см. также [21] и [И], стр. 227) исследовали, в
частности, следствия дополнительного предположения И: через каждую точку
пятимерных пространств проходит в точности одна геодезическая линия,
которая возвращается в эту же точку, непрерывно меняя направление. Они
показали, что в этом случае всегда существует избранная система
координат, где
Группа преобразований остается той же, что и в первоначальной теории
Калуза, но gik могут теперь зависеть периодически от хь.
Авторы затем строят наиболее общий инвариант, отвечающий тем же общим
требованиям по отношению к порядку дифференцирования, что и в обычной
теории относительности (а именно, линейности по вторым производным поля и
отсутствию высших производных). Соответствующие уравнения поля являются,
вообще говоря, интегро-дифференциальными.
При всех этих предположениях не удается прийти к интерпретации или
оправданию выбора Р в качестве скаляра в принципе наименьшего действия,
однако ситуация существенно меняется, если отбросить предположение II,
сохранив предположение I. Группа преобразований тогда будет иметь вид
где pv - произвольные периодические функции х5 с периодом 2я. Эта общая
группа также рассматривалась Клейном, но ее математические и физические
следствия нуждаются в дальнейшем изучении.
Справедливо, что единственным скаляром, который можно составить*из при
помощи только обычного процесса дифференцирования (с ограничениями на
порядок дифференцирования, налагаемыми обыкновенно в общей теории
относительности), является теперь скаляр Р, отвечающий пятимерной
метрике. Однако все еще остаётся нерешенным вопрос о том, существуют ли
какие-нибудь другие инварианты в большом,
28 Зака" К" 214
(28)
xtb ~хъ -f~ ръ(х5, xk), х'г = рг(хъ, хк),
(29)
430
Вольфганг Паули
которые можно было бы выразить как интегралы по должным образом выбранным
замкнутым кривым и использовать в принципе наименьшего действия1).
Помимо математических трудностей, остается еще проблема физической
интерпретации общих функций, периодически зависящих от х5, заданных
соотношениями (27). Эта проблема ведет к волновой механике и поэтому
также к проблеме квантования поля2). Тензоры, подобные (.хг),
соответствуют спину, равному 2, который, кстати, никогда не встречался в
природе и из которого никаким сложением нельзя получить спин, равный 1/2.
С нашей точки зрения (см. вводную часть к этому примечанию), ясно, что,
помимо поля Yjj/v (я5, х1), должны существовать другие поля
квантовомеханического типа, такие, например, как спинорные поля,
описывающие частицы с малой массой [13].
Таким образом, вопрос о том, имеет ли формализм Калуза какое-либо будущее
в физике, ведет к более общей главной нерешенной проблеме о синтезе общей
теории относительности и квантовой механики.
ЛИТЕРАТУРА
1. Jordan Р., К 1 е i п О., Zs. f. Phys., 45, 751 (1927).
2. Jordan P., W i g n e r E., Zs. f. Phys., 47, 631 (1928).
3. Ф о к В., Zs. f. Phys., 75, 622, 1932. (См. перевод: В. А. Ф о к,
Работы по квантовой теории поля, Изд.-во ЛГУ, 1957, стр. 25.)
4. Bohr N., Report on 8th Solvay Conference of Physics, Bruxelles, 1950,
p. 376-380.
5. Eddington A. S., The Mathematical Theory of Relativity, Cambridge,
1924. (См. перевод: А. Эддингтон, Теория относительности, Л.-М., 1934.)
6. Schrodinger Е., Space-Time-Structure, Cambridge, 1950.
7. Einstein A., Straus E.G., Ann. Math., Princeton, (2) 47, 731 (1946).
8,. E i n s t e i n A., Ann. Math., Princeton, (2) 46, 538 (1945).
9. Weyl H.r Naturwiss., 38, 73 (1951); Proc. of the Berne Congress,
1955.
x) Бергман любезно обратил мое внимание на следующую проблему: существует
ли всегда в пятимерном многообразии с топологией цилиндра, бесконечно
протяженного в пространстве х1, ..., х4, и с метрикой, удовлетворяющей
предположению I, избранная система координат, в которой ду^ь/дх5=0 при
|а=1,...,5.
2) См. примечание 2 на стр. 424.
Единая теория поля
431
10. Е i n s t е i n A., Kaufmann В., Ann. Math., Princeton, 62, 128
(1955); The Meaning of Relativity, 5 изд., Princeton, 1955, Appendix II.
11. Bergmann P. G., An Introduction to the Theory of Relativity, New
York, 1942. (См. перевод: П. Бергман, Введение в теорию относительности,
ИЛ, 1947.)
12. К а 1 u z a Th., Sitzber. preuss. Akad. Wiss., 966 (1921).
13. Klein 0., Nature, 118, 516 (1926); Zs. f. Phys., 37, 895 (1926); 46,
188 (1928); Ark. Mat. Astr. Fys., 34, 1 (1946); Proc. of the Berne
Congress, 1955.
14. Ludwig C., Fortschritte der projektiven Relativitatstheorie, Berlin,
1951.
15. J о r d a n P., Schwerkraft und Weltall, 2-е изд., 1955.
16. D i г а с P. A. М., Nature, 139, 323 (1937); Proc. Roy. Soc., A165,
199 (1938).
17. T h i г у Y. R., Диссертация, Paris, 1951.
18. Lichnerowicz A., Theories relativistes de la gravitation et de
