Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
думал раньше сам), что эта теория не является более общей, чем теория
Калуза, и что нетрудно перейти от одной из этих формулировок к другой.
Введем однородные координаты Xv при помощи соотношения
(с произвольными функциями /v); обратные соотношения имеют вид
где На) - однородная функция 1-й степени. Нетрудно убедиться, что
"градиентные преобразования" (И) в комбинации с общими преобразованиями
координат xk в точности соответствуют группе всех однородных
преобразований 1-й степени координат Xv. Именно последние преобразования
рассматриваются в проективной формулировке теории. Ввиду взаимно
однозначного соответствия между двумя формами теории2) мы не будем дальше
рассматривать проективную форму.
Геометрическая форма общековариантных законов электромагнитного поля,
принадлежащая Калуза и изложенная выше, ни в коей мере не представляет
собой "унификации" гравитационного и электромагнитного полей. Наоборот,
любая общековариантная и градиектно инвариантная теория' может быть
представлена в форме Калуза. При отсутствии электрических зарядов (токов)
уравнения Максвелла в общековариант-
*) Помимо книги Бергмана, литературу по этому вопросу можно найти в
монографии Людвига [14].
2) Для метрического тензора Г^,, соответствующего Xv, имеем, согласно
[20],
(20)
(20а)
XX Z4
Xй ' * *• ' Xй
)}
= InЯ(,)(X1, .... X6),
, дХ" dXv MV дхъ Ox-'
= ruvx^v.
Единая теория поля
427
ной форме можно получить, варьируя интеграл действия с плотностью
S=V'^g(/? + y Vih). (21)
если Fik - напряженности электромагнитного поля. Однако и более сложная
зависимость скалярной плотности в интеграле действия от напряженностей
могла бы с тем же успехом быть согласована с цилиндрически симметричной
пятимерной метрикой.
Калуза и Клейн, однако, получили еще один интересный результат. Они
вычислили скаляр Р, образованный из тензора кривизны, который
соответствует выбору пятимерной метрики в виде (8) или (12), и нашли
P = R + ±fikfih, (22)
где Я - тензор кривизны, определенный для четырехмерной метрики
ds2=gikdxldxk, a fik определены соотношениями (17). Это выражение
тождественно совпадает с (21), если положить
fik = Flh, Yi6 = 'K2xq>i- (23)
Следует отметить здесь, что знак второго члена в правой части уравнения
(22) изменился бы, если бы мы выбрали пятую координату времениподобной
(Убб^-1), а не пространственноподобной. Пятое измерение должно быть
выбрано пространственно-подобным, чтобы в (22) знак правой части был тот
же, что и в (21). Можно сказать также, что при выбореР в качестве
инварианта в интеграле действия эмпирический знак гравитационной
постоянной представлен пространственно-подобным знаком у65.
Однако не существует причин с точки зрения ограниченной группы
цилиндрической метрики, чтобы в качестве подынтегрального выражения в
интеграле действия выбрать именно пятимерную скалярную кривизну Р.
Нерешенная проблема об отыскании таких причин заставляет, по-видимому,
думать о расширении группы преобразований. Это связано с возможностями
обобщения формализма Калуза, которые мы сейчас кратко рассмотрим.
Одно из обобщений формализма Калуза заключается в отказе от условия (10)
Уб5"1 ПРИ сохранении условия (9). С точки
Вольфганг Паули
зрения группы преобразований общей теории относительности у55
представляет собой теперь новое скалярное иоле, которое но-прежнему
предполагается не зависящим от хъ. Полагая
Y55 = А Yi5 = //i. Y ih = gik + Jfifh' (24)
. получаем
ds~dx^ dx^ ::=- J (dx^ -[- f ^ dx )- -j - ^ dx' dx (2o)
с "градиентной" группой
х'° = хй + f (л1), = (26)
ох1
Иордан [15], первоначально сформулировавший свою теорию в проективной
форме, воспользовался давними идеями Дирака [16] и сделал интересную
попытку использовать это новое поле J для построения теории, в которой
гравитационная постоянная обычной теории заменяется зависящим от времени
полем. С математической точки зрения эта идея была независимо исследована
Тири [17] (см. также [18]). Как показал Фирц [19], введение вещества
приводит в этой теории к дополнительным предположениям, без которых
временная зависимость стандартных длин, полученных из атомных размеров и
по гравитационному взаимодействию между частицами с массой, не равной
нулю, еще не определена. Мы не будем здесь касаться вопроса об
экспериментальных свидетельствах в пользу этой теории.
Другое более фундаментальное обобщение теории Калуза заключается в отказе
от условия цилиндричности (9). Уже в первых своих работах 1926 г. Клейн
рассмотрел периодическую зависимость всех переменных поля от хъ. Если
выбрать в качестве периода 2тс, то это предположение I {"Все компоненты
Yjxv являются периодическими функциями хъ с периодом 2я") можно также
выразить с помощью разложения Фурье
+о°
YuvO^5, х1)= 2 Yjiv (хг) (27)
П--оо
при обычном условии действительности
Yjivn) = (y?v)*. (27а)
Геометрически х5 можно интерпретировать как угловую переменную, так что
все значения х5, отличающиеся на целое крат-
Единая теория поля
