Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
того, как Хэббл открыл красное смещение спектральных линий излучения
туманностей, пропорциональное расстоянию до туманностей. Красное смещение
можно удовлетворительно интерпретировать лишь как сдвиг Допплера,
обусловленный движением туманностей в смысле расширения Вселенной как
целого.
Узнав об этой новой возможности, Эйнштейн [3] полностью отказался от
космологического члена, считая его излишним и бо-
Э Из дополнений к книге В. Паули, Теория относительности, М.-Л., 1947. К
английскому изданию 1958 г. Паули добавил 26 страниц. Здесь приведен
перевод двух дополнений к § 62 (Космологические проблемы) и § 67 (Единая
теория поля), в которых Паули излагает свои взгляды на общие проблемы
теории относительности.--Прим. ред.
414
Вольфганг Паули
лее не оправданным. Я целиком присоединяюсь к точке зрения Эйнштейна1).
Фридман выбрал следующую форму для метрики:
ds2 = R2 (t) do2 - dx\\ xA = ct, (1)
где do - не зависящий от времени трехмерный элемент длины,
соответствующий пространству с постоянной кривизной е, которую можно
нормировать так, чтобы она была равна +1, О или -1; тогда при 8^0
единицей измерения х1, х2, х3 будет радиус кривизны R(t). Масштаб времени
определяется выбором g44=-1 в уравнении (1); координаты ха (а= 1, 2, 3)
являются постоянными для вещества, движущегося вместе с расширяющимся
пространством. Пространственную часть do2=yab dx'ldxh (a, b = 1, 2, 3)
можно взять в виде
-¦¦=2 <*¦>'• <2>
а а
Для свернутого тензора кривизны РаЪ, относящегося к do2, мы получаем РаЬ
=- 2гуаЬ [согласно RilJr{n-\)agik =(f и поскольку п=3]. Из уравнения для
геодезических следует2), что для материальной частицы
| р|-Л = const, (3)
где p=mv[ 1 - г;2/с2]"1/2-импульс частицы.
Если ввести длину волны де Бройля X-h/p, то соотношение (3) можно
записать в виде
~ = const. (За)
Последнее соотношение справедливо также для света (фотонов). Если масштаб
времени определен линейным элементом, квадрат которого имеет вид (1) с
g44=- 1, то скорость света постоянна, и частота света в этом масштабе
времени удовлетворяет соотношению
vR = const. (36)
На это обстоятельство указал Лауэ [7], который не пользовался какими-либо
квантовыми понятиями, а лишь от-
х) В связи с нижеследующим см. монографии [4-6].
2) См. монографии [4-6]. Можно рассмотреть частный случай х2=х3-0,
хг=г, do= dr [1-(-(е/4)г2] 1уЧ Для частицы с массой покоя., отличной от
нуля, v=Rdo/ dt.
Космологические проблемы
415
метил, что в силу конформной инвариантности^ уравнений Максвелла частота
v', соответствующая линейному элементу ds2^R2{t,)(dG2-cldtf2), не должна
зависеть от времени.
Пусть \i - плотность массы, u=^\ic2 - соответствующая плотность энергии,
р - давление, причем и и р зависят ог времени, но одинаковы во всех
точках пространства. Тогда для компонент тензора энергии-импульса %Tik
получаем (а, 6=1, 2, 3)
Ты = и, Tia = 0, Tab = pgab = pR2yab. (4)
Следовательно,
Т - - и-\- 3/?,
^44 "2~§Г44^,==2(5)
^Ob - =-j(^+3 /?).
Вычисление компонент тензора приводит к следующим,
результатам (точка означает дифференцирование по x± = ct)\
= §. *4a = 0. ЯаЬ=-уаЬ(2е + Д2 + ДЯ). (6)
Уравнения поля без космологического Я-члена Ън=rgikr) позволяют получить
или
3 = - Y (и + зр),
2z+2R2 + RR = ^R*(u-p),
3-jpr-=ХИ,
2RR-\-R2 -)-е_
Д2 -ХР-
(7) 101
(8),
Закон сохранения энергии-импульса (равенство нулю ковариант-ной
дивергенции Tlk) при i = 4 (остальные три уравнения.
416 Вольфганг Паули
выполняются тождественно) дает соотношение
й + Щ-(и + р) = 0, (9)
что также следует непосредственно из (7) или (8). Уравнение (9) можно,
кроме того, записать в виде
d(uRs) + pd(R*) = 0, (9а)
что выражает постоянство энтропии для некоторого объема вещества.
Если в объеме содержатся только частицы с массой, то
р - 0, z/i?3 = const =А; (96)
если только фотоны, то
р ~ - и, uR4 - const. (9в)
Практически представляет интерес, по-видимому, только случай р = 0, что
мы и будем предполагать в дальнейшем. Подстановка (9в) в первое из
соотношений (8) приводит к
R(R* + e) = KA
или
Л2 = ^-е. (10)
Последнее соотношение нетрудно проинтегрировать, Например, при кривизне,
равной нулю, получаем
8 = 0, jR3h = V(M)c(t-t0). (И)
Отсюда следует, что постоянная Хэббла равна
я=А=(Д _L_ м2)
tH R ' tH jf! 2 3 t-10 ' ' '
или
t - t0 = YtH = -jH~1- (13)
В этом решении время tQ отвечает точке Я = 0, и= оо, где исходные
предположения модели уже не верны. Теоретически невозможно пройти назад
за момент tQf в котором состояние
Космологические проблемы
417
вещества характеризуется огромной плотностью, и в этом смысле время t -
t0 можно интерпретировать как возраст Вселенной.
Остальные случаи е=+1 и е= - 1 читатель найдет
в работах [3, б, 8]. Если величину H=l/tH по-прежнему определять
равенством (12) и R = 0 при t - t0, то для "возраста Вселенной" t - t0
можно найти следующие неравенства:
2
t - - при е=--г1, (13а)
при е=-1. (136)
В последнем случае протяженность времени t-10 ограничена при данном tH
