Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
1/ -det | | V - det | |
В соответствии с духом обычной общей теории относительности выбор
скалярной плотности 2 в интеграле действия ограничен требованиями, чтобы
2 не содержало производных от glh, а содержало только первые производные
от U\k и зависело линейно от последних. Эти требования вместе с
требованиями ^-инвариантности и транспозиционной инвариантности,
упомянутыми выше, приводят к выражению для 2 линейному по Rik,
выраженному через U\u- Если космологический член, не зависящий от Rik,
опущен, то при должном выборе поля glk мы приходим к выражению Эйнштейна
для скалярной плотности в подынтегральном выражении интеграла действия
? = Л, (?)
удовлетворяющему всем перечисленным постулатам [величины дг/г определены
соотношениями (6)].
Вывод уравнений поля и тождественных соотношений между ними можно найти в
цитированной выше литературе. В частном случае, когда антисимметричные
части gih и обращаются в нуль, мы приходим снова к обычным уравнениям
поля общей теории относительности в отсутствие вещества.
Довольно сомнительно, имеют ли уравнения поля этой теории, основанные на
формальных постулатах ^-инвариантности и транспозиционной инвариантности,
лишенных непосредственного физического или геометрического' смысла,
вообще какое бы то ни было отношение к физике.
В "единой теории поля" полностью отсутствует какой-либо ведущий
физический принцип, подобный принвдшу эквивалентности в общей теории
относительности, который был бы основан на данных опыта. Более того, в
обычной общей теории относительности непосредственный физический смысл
имеет элемент длины и вместе с ним квадратичная форма gikdxidxki а не
27*
424
Вольфганг Паули
псевдотензор Г^, который управляет параллельным .смещением векторов.
Далее мы рассмотрим другие попытки создания "единой теории поля", в
которых используются лишь неприводимые величины.
б) Пятимерные и проективные теории1). Калуза [12] нашел интересное
геометрическое представление в ковариантном виде уравнений
электродинамики Максвелла, которое впоследствии было улучшено и обобщено
Клейном2).
Рассматривается пространство с цилиндрической метрикой
ds2 = dxM dxv (8)
(в дальнейшем греческие индексы ц, v... пробегают значения от 1 до 5, а
латинские индексы i, к, ...-от 1 до 4). Условие цилин-дричности лучше
всего записать в специально выбранной системе координат3), в которой у^у
не зависят от .г\
^=0. (9)
Кроме того, Калуза и Клейн предполагали, что
У 55 = 1 • (10)
Положительный знак у55 означает, что пятое измерение метрически
пространственно-подобно. Причина такого выбора будет ясна позже. Помимо
координатных преобразований общей теории относительности, для координат
хи в избранных системах координат допустима группа преобразований
,г'5 = .77*-|-/ (.Г1, X4). (11)
Если записать выражение (8) в виде
ds2 = (dx5 + yi5 dx1)2 + gik dx1 dxh, (12)
то нетрудно убедиться, что gjk инвариантны относительно
преобразований (И)
gik - g'ik, (13)
*) Обзор этих теорий читатель найдет в книге Бергмана [11], гл. XVII и
XVIII.
2) В первых двух из работ Клейна [13] уже принята во внимание
периодическая зависимость метрики от пятой координаты.
3) Формулировка для общей системы координат содержится в цитированной
книге Бергмана [11].
Единая теория поля
425
тогда как
* = (14)
Сравнение (8) и (12) позволяет получить
Yife = gi/i + Yi5Yft5- (15)
Если glh, как обычно, обратная матрица к g.h, a y^v--обратная матрица к
то легко получить
det | y^v | = det | gik |,
Y5'- = 1 + yikyi5yk&, Yi5 = - glftYks, Yife =
(16)
b
Вид преобразований (14), аналогичных градиентным преобразованиям, наводит
на мысль об отождествлении yi5 с электро-магнитпым потенциалом ф. с
точностью до некоторого мно-жителя. Антисимметричный тензор
дУкъ дУгЬ _ х (ап\
дх'' дх* hk' К }
инвариантный относительно "градиентных преобразований" (14),
пропорционален тогда напряженностям электромагнитного поля. К определению
коэффициента пропорциональности мы вернемся позже.
Геодезические линии метрики (8) или (12) также можно интерпретировать
физически при таком подходе. Из независимости Yjxv °т .т5 непосредственно
следует, что при надлежащем выборе параметра .9 па геодезических
постоянны два выражения
ТГН Y""^ = const = C (18)
dx1 dxh , . /лп \
g^~dr'17="cmst= "1- <18а)
Постоянную в уравнении (18а) можно отпормировать к - 1. Уравнения
геодезических имеют вид
- [a. dxks\ 1 d8rs dxV dx' = Г4т //iq\
dS ds ) 2 rfxi ds ds ^ih ds v ' /
Но это соотношение представляет собой уравнение для траектории заряженной
частицы во внешних гравитационном и элек-
426
Вольфганг Паули
тромагнитном полях. Поэтому постоянная интегрирования С пропорциональна
отношению elm заряда и массы частицы.
Мы упомянем здесь кратко другой путь геометризации гравитационного и
электромагнитного полей, а именно проективную геометризацию. Многие
авторы внесли здесь свой вклад, а среди них Веблен и Гоффман, Шутен и ван
Данциг и я1). Бергман [11] показал, однако (в противоположность тому, что
