Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
энергии связи примесного электрона получается сразу в виде
= = эВ, (3.3)
п 8 //Zgrt ? т0 п 4 '
где п - целое число.
В случае Ge и Si необходимо видоизменить эту простейшую модель, с тем
чтобы учесть отклонение формы энергетических зон от сферической. В
дальнейшем мы еще вернемся к обсуждению такого обобщения теории.
Предположим, что электрону в германии можно приписать некоторую среднюю
скалярную эффективную массу т е, равную 0,2 тв (такое значение средней
эффективной массы те, как мы увидим ниже, дает хорошие результаты и при
интерпретации других явлений). Полагая е=16, получаем Wn"0,0\/n2. эВ, т.
е. для основного состояния ^"0,01 эВ. В принятом здесь приближении
значение Wi получается одинаковым для любых примесных атомов V группы. На
самом деле опытные значения энергии в основном состоянии слегка
изменяются в зависимости от разновидности донорных атомов (см. разд.
13.3). Однако этот разброс значений невелик и совпадение результатов
столь простой теории с опытом следует считать неожиданно хорошим. В
случае донора V группы в Si, принимая е=12 и те=0,5 т0, получаем Wnx
"0,05In? эВ, тогда как экспериментальные значения Wi лежат между 0,039 эВ
для Sb и 0,067 эВ для Bi (см. разд. 13.3). Величина Wi равна
энергетическому зазору между донорным уровнем и дном зоны проводимости.
Из предыдущего видно, что в Si и в Ge этот зазор мал по сравнению с
шириной запрещенной зоны.
В точности такие же представления применимы и для свободной дырки,
движущейся в электрическом поле акцепторного иона трехвалентного элемента
(например, иона Ga в Ge)* На достаточно больших расстояниях ион Ga-
создает кулоновское поле, в котором и движется дырка. Формула для
примесных уровней энергии по виду совпадает с формулой (3.3), необходимо
лишь вместо те подставить ть - эффективную массу дырки. Однако,
оказалось, что в кристаллах Ge и Si, где энергетический спектр примесей
изучен с наибольшей полнотой, ситуация осложняется из-за вырождения
валентной зоны. Обсуждение влияния структуры зон на спектр
3. Примеси и несовершенства в кристаллах
85
уровней примеси мы пока отложим и отметим лишь, что, например, в Ge
значения Wi для акцепторов почти такие же, как и для доноров. Для Si,
приняв ть=0,4 та из формулы (3.3) получаем l^i"0,04 эВ, тогда как опытные
значения Wi для акцепторов лежат в пределах от 0,045 эВ для В до 0,065эВ
для Ga (исключая In, для которого №,=0,16 эВ; см. разд. 13.3). Здесь Wi
представляет собой энергетический зазор между основным примесным
акцепторным уровнем и потолком валентной зоны. Так же как в случае до-
норной примеси, величина этого зазора оказывается гораздо меньше ширины
запрещенной зоны.
Интересно оценить эффективные размеры области локализации волновых
функций, которыми описываются электрон или дырка, связанные с
соответствующими примесными центрами. Такой оценкой может служить
величина радиуса "боровской орбиты" ап, соответствующей водородоподобной
волновой функции. Ее можно вычислить по формуле
а" = а°ъ S "*• <3-4)
где а0 - радиус первой "боровской орбиты" для атома водорода (0,53-10"(r)
см). В случае донорных пятивалентных атомов в германии ai"80oo, откуда
следует, что волновая функция примесного электрона простирается на
расстояния, во много раз превышающие величину постоянной кристаллической
решетки. Как можно показать, в этом случае вклад потенциальной энергии
при значениях г хао не играет существенной роли. Это может служить
оправданием для использования обычного кулоновского поля для
приближенного вычисления Wn. В Si для донорной пятивалентной примеси
получаем а^ЗОоо. Хотя волновая функция примесного электрона простирается
на расстояния, все еще во много раз превышающие постоянную решетки,
следует ожидать, что согласие упрощенной теории с опытом будет в кремнии
несколько хуже, чем в германии. Для возбужденных уровней энергии согласие
должно быть лучше из-за наличия множителя п2, что на самом деле и имеет
место (см. разд. 13.3).
Если в зоне проводимости полупроводника имеется несколько эквивалентных
минимумов энергии, то необходимо видоизменить использованный выше простой
метод расчета, основанный на водородоподобной модели примесного атома.
Более того, как мы уже видели, использованное нами приближение теряет
силу, если ап перестает быть большим по сравнению с постоянной решетки.
Это имеет место для примесей, основные состояния которых лежат на большом
расстоянии от зоны проводимости и от валентной зоны. В этом случае
требуется значительно более сложный метод расчета. Обсуждение его мы
отложим до разд. 11.5.1.
86
3. Примеси и несовершенства в кристаллах
3.4.2. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ ДРУГИХ ПРИМЕСЕЙ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ IV
ГРУППЫ
Для примесей с избытком (или недостатком) более чем одного валентного
электрона, не существует простого способа оценки положения энергетических
уровней. Экспериментальным путем установлено, что донорные примеси такого
рода, как правило, имеют энергетические уровни, лежащие довольно глубоко
