Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Х(Ь) = ФИ.
Кроме того, при ^ = 0 якобиан
det (дХ'/д№) = det (q) (к, 0))
отличен от нуля, так как <7/(0, 0) = 6-. Поэтому функция Х(^) имеет
обратную функцию в некоторой окрестности начала координат, и компоненты
вектора % можно взять в качестве новых координат, называемых
логарифмическими или нормальными координатами элемента g = ek группы в
некоторой окрестности единицы в G. Можно также писать ^ = lng.
Отображение (в общем случае переводящее много элементов в один) % -> ех
алгебры Ли Л в группу Ли G называется экспоненциальным отображением.
Компоненты данного вектора % зависят, разумеется, от выбора координатной
системы {?/) <р, М}, но преобразуются как компоненты вектора, так что
каждый элемент алгебры Л (вектор) отображается в единственный элемент
группы.
25.7. ЛЕММА О ВНУТРЕННИХ АВТОМОРФИЗМАХ.
ОТОБРАЖЕНИЕ Ad^
Доказываемая ниже лемма нужна в качестве части аналитического аппарата
для доказательства теоремы Кэмпбелла - Бейкера - Хаусдорфа, но
представляет также и самостоятельный интерес. Как и в гл. 21, гомоморфизм
группы G (абстрактной или нет) на группу невырожденных линейных
преобразований векторного пространства V называется представлением группы
G на V. Если этот гомоморфизм является взаимно однозначным (т. е.
изоморфизмом), то представление называется точным. Если бы каждая группа
Ли имела точное представление на конечномерном пространстве, то вся
теория свелась бы к операциям над матрицами. Хотя это и не так, но любая
односвязная группа имеет частное представление (вообще говоря, не
являющееся точным) - это так называемое присоединенное представление,
которое будет описано в конце данного параграфа.
Замечание. У читателя может возникнуть желание пропустить доказательства
в этом и в следующих трех параграфах. Однако
164
Гл. 25. Группы Jlu
приведенные определения и формулировки лемм и теорем необходимы для
дальнейшего.
Если -фиксированный элемент группы, то отображение 8-*e,xge~ix есть
внутренний автоморфизм группы G (см. § 18.10); он индуцирует линейное
отображение алгебры Л в себя, которое мы и обсудим.
Прежде всего, если ц-фиксированный элемент алгебры Л, то линейное
преобразование Л в себя, определяемое посредством Я->-[ц, Я,],
обозначается через AdM. Относительно базиса в Л это преобразование
представляется некоторой матрицей размера пхп. [Эту матрицу не следует
смешивать с матрицами, из которых строится алгебра Л, когда G-линейная
группа, и от которых она, вообще говоря, отличается размером. Если,
например, элементами Л являются матрицы размера тхт, то AdM может быть
представлено матрицами размера m'xml] Через Ad^ обозначается
преобразование
Ь - Adu (AdMX) = AdM [ц, Я] = [ц, [ц, Я]]; аналогично AdMAdv, Ad? и
exp{AdM} обозначают преобразования Я->[ц, [v, Я]], Я -[ц, [ц, . ..[ц,
Я]...]],
Я-> (/ + AdM + (l/2!) Ad? + .. .)Я, где I-единичное преобразование в Л.
Лемма. Пусть е'1-заданный элемент группы, и пусть для каждого к из A
g(t)-гладкая кривая, такая, что g(0)=l, а касательным вектором к ней в 1
является Я; пусть также Я'-касательный вектор в 1 к кривой e,xg(t)e~,x.
Тогда отображение Я-> Я' есть линейное преобразование в А, которое в
явном виде записывается как
Я ->¦ Я' =еА<^Я. (25.7.1)
Доказательство. Для любого фиксированного s в интервале [0, 1] групповой
автоморфизм g (/) -> g (/) индуцирует отображение Я -> Я (s) способом,
описанным в формулировке леммы; будет доказано, что Я (s) удовлетворяет
тому же самому дифференциальному уравнению, зависящему от s, что
и е МЯ. Логарифмическая координата элемента группы g (t, s) =ei*sg (t) е-
д* равна
x(t, s) = lng(<, s) = tt,(s) + .,. . (25.7.2)
Чтобы найти производную no s при s = s0, запишем
g(t, s0 + s) = e^g(t, so) (25.7.3)
x(t, s0 + s) =m (m (spi, x (t, s0)),--sfi), (25.7.4)
где, как и в предыдущих параграфах, т(-, •) выражает координату (здесь
логарифмическую) произведения двух элементов группы через координаты
множителей. Вспомнив определение (25.6.4) для qj (х. у), определим
аналогично
Р}(*> У) = дт'(х, у)/дху. (25.7.5)
25.7. Лемма о внутренних автоморфизмах . Отображение Айц
165
Дифференцирование (25.7.4) по t показывает, что касательный вектор в <=0
к кривой х (/, So + s) имеет вид
^ (s0 + s) =Р) (sn. -Щ) ql (sfi, 0) A* (s0) (25.7.6)
Из разложения (25,2.2) для т' (х, у) получаются разложения для р\ и qk,
включающие члены первого порядка
р; = 6;' + а<у+...,
^ = 6fr+"^ + -.- ¦
(Все эти разложения и величины р1. и qj выражены теперь через
логарифмические координаты.) Из (25.7.6) тогда следует
dX' (s+s0)/ds |s=o= (а\к-а1ы) |ДА* i,So),
т. e.
сГк (s)/ds = [pi, A (s)] = А<1д A (s)
[cm. (25.3.3) и (25.3.4)]; если использовать базис в Л, то данное
уравнение становится системой п дифференциальных уравнений первого -
порядка с постоянными коэффициентами, решением которой является
A (s) =eJAtin А (0). (25.7.7)
Ad
В частности, А' = А(1) = е ^А, что и требовалось доказать.
Упражнение
Ad
Покажите, что для фиксированного pi линейное отображение А-*е d А есть
