Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 69

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 162 >> Следующая

а'(0 = x(AdtJ(O)(i. (25.10.4)
Согласно определениям %(•) и ф(-). имеем х(г) = ф(ег); отсюда
a' (0 = t(eAda(o)fi.
Это дифференциальное уравнение можно упростить, используя лемму из §
25.7, которая гласит (в обозначениях § 25.8), что отображение е 0 есть
отображение v-*е0хе~0\ в частности,
eAdH(Ov==ea(Ovg-o:(n=:eie/Hve-/He-X=eAdJbe(AdHv.
Теперь неизвестная функция стоит только в левой части, и формула КБХ
получается интегрированием от < = 0 до t= 1 с учетом условий
a(0) = lne*' = к, а (1) = Inех е0 = а.
Так как Ad*.-преобразование v - [X, v], то элементы матрицы Adx являются
линейными функциями компонент вектора X. Поэтому матричные элементы
преобразований ехр {Ad>.} и ехр{/Аб,Д представляют собой аналитические
функции компонент векторов к и ц. Из аналитичности функции ф(г) при |г-1
| < 1 следует, что для к и ц, принадлежащих окрестности N начала
координат в А, о которой говорилось в пояснении 1, компоненты вектора о =
\пе^е0 суть аналитические функции компонент ^иц; благодаря аналитическому
продолжению эти функции аналитичны при всех таких к и ц, для которых
определен логарифм.
Когда используются логарифмические координаты к'\ 1пехе0 представляет
собой просто функцию умножения, которая ранее обозначалась через ш (к,
ц). От этой функции требовалась только принадлежность классу С4, теперь
же видно, что в случае логарифмических координат она должна быть
аналитической. В этих координатах функция обращения I (•) задается
равенством 1 (к) = = -к и, значит, также аналитична.
25.11. Трансляции карт. Согласованность
171
Упражнение
Выразите матричные элементы АЩ через компоненты М вектора А,, если задан
базис et, е" в Л, и соответствующие структурные постоянные Cj*.
25.11. ТРАНСЛЯЦИИ КАРТ. СОГЛАСОВАННОСТЬ.
G КАК АНАЛИТИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ
В этом параграфе выбирается некоторая базисная (основная) карта с
логарифмическими координатами в ней, а другие карты будут получены из нее
при помощи трансляций в группе. Чтобы несколько упростить эту работу,
выберем базисную карту столь малой, что имеет место ряд полезных свойств.
Во-первых, пусть U-окрестность 1 в группе G, такая, что отображение ек ->
к в алгебру Ли взаимно однозначно, благодаря чему в U можно использовать
логарифмические координаты. Во-вторых, пусть V-достаточно малая
подокрестность в U (открытое подмножество множества U), также содержащая
1 и такая, что если g и h принадлежат V, то gh принадлежит U и In gh
задается формулой КБХ. Наконец, пусть W-такая подокрестность в V, что
если g и h принадлежат W, то gh принадлежит V, в то время как g-1 и h_1
принадлежат W (это обеспечивает использование формулы КБХ для тройного
произведения вида SiS^gs и т- п)> и пусть N-образ W в Л, т. е. A = jlng:
g?
В дальнейшем {W, In, N} будет рассматриваться в качестве базисной карты.
Вспомним, что для любого фиксированного элемента а из G взаимно
однозначное отображение группы G на себя, задаваемое как g -> ag,
называется левой трансляцией на а, а отображение g-*ga называется правой
трансляцией. Для любого фиксированного а из G левотранслированная карта
|aW, "ср, iV) определяется следующим образом: прежде всего подмножество
aW группы G определяется как
aW={agl:
тогда для каждого g = ag1?aW функция aq>(g) есть ln^. Заметим, что
образом aW при отображении g-*-aq>(g) является тоже самое открытое
множество N в координатном пространстве Л, которое представляет собой
образ W при отображении g-> 1 ng. Аналогично получается
правотранслированная карта {Wa, ср0, W}.
Теорема 1. Любые две карты, полученные при помощи трансляции базисной
карты {W, In, iV}, согласованы (в действительности аналитически
согласованы).
Пояснение. Если а лежит в W, то левая (как и правая) трансляция на а есть
гомеоморфизм в данной базисной карте, насколько это определено, потому
что координаты элемента ag суть непрерывные
172
Гл. 25. Группы Ли
(даже аналитические) функции координат элемента g согласно формуле КБХ, а
координаты g суть непрерывные функции координат ag, так как g=a~l(ag).
Следовательно, любая транслированная карта согласована с базисной картой,
и будет показано, что любые две транслированные карты также согласованы
друг с другом. Таким образом, G становится многообразием, и теорема 2
(см. ниже) показывает, что эти трансляции являются гомеоморфизмами во
всем G.
Доказательство георнмы 1. Сначала рассмотрим карты, полученные левой
трансляцией базисной карты соответственно на а и Ь. Если пересечение
aW()bW пусто, то карты автоматически согласованы. В противоположном
случае следует доказать, что это пересечение при помощи а<р (а также
и ьф) отображается на открытое множество в А (см. § 23.2). Иначе говоря,
если g-любая точка данного пересечения, так что g = ag1 = bhi, где gx и
/ц принадлежат IV, то нужно показать, что g принадлежит некоторому
подмножеству, которое является открытым подмножеством каждой карты в
соответствии с топологией этой карты. Поэтому рассмотрим близкий к g
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed