Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
физических применений одной теории линейных групп, по-видимому, будет
достаточно. Однако абстрактная формулировка представляется необходимой
для полной теории. Даже если начинают с матриц, теория приводит к
группам, которые не являются, по крайней мере очевидным образом, группами
матриц, а именно к факторгруппам G/Н и полупрямым произведениям. Любая
компактная группа Ли линейна, но доказательство этого основывается на
весьма глубоких результатах теории; см. книгу Шевалле [1946]. В
приложении к этой главе описываются две нелинейные группы Ли. Абстрактная
теория представлена ниже, но в различных местах указано сведение к
матрицам; см. упражнения 1-7 в § 25.14.
Пусть G-группа. Допустим, что в пространстве, точками которого являются
элементы G, определена ц-мерная координатная карта {[/, ф, N}, такая, что
U содержит единичный элемент 1 группы. (Мы используем символ 1, поскольку
символ е потребуется для экспоненты.) Предположим для удобства, что <р
отображает 1 в начало координат пространства R": ф (1) = 0. Подмножество
Uо множества U называется открытым (как в гл. 23), если (f(U0)-открытое
подмножество множества N в R".
Мы допускаем, что произведения и обратные элементов группы непрерывны в
этой карте, когда их координаты определены. Тогда мы можем определить
меньшую карту со специальными свойствами следующим образом. Пусть g и h
принадлежат U. Если g и h достаточно близки к 1, т. е. если <p(g) и ф (h)
достаточно близки к началу координат в R", то gh, g~x, h~x также близки к
1. В частности, если g = h= 1, то gh, g~x, h~x равны 1, а их координаты
определены и все равны нулю. Следовательно, по непрерывности существует
такая окрестность Ux единицы, что если g и h принадлежат Ux, то
координаты элементов gh, g~x, h~x определены и принадлежат открытому
множеству N в R". Удобно
def
рассмотреть даже меньшую окрестность ?/" = Ux П f/Г1, где Uxx =
def
= {g~1: g?Ui), и определить /V0 = (p(f70)cM. Тогда если g и .h
принадлежат ?/", то gh содержится в U, в то время как g~x и h~x
содержатся в U0. Векторнозначная функция т(х1, х2) поэтому определяется
для всех хх и х2 из N0 при помощи равенства
т(ф(?), ф (h)) - (f(gh) СМ;
аналогично 1 (х) определяется как
I (ф(^)1 = ф(^_1)€ ЛГ0.
Группа G совместно с ц-мерной картой {?/, ф, N} называется п-мерной
группой Ли, если функции т(-, ¦) и !(•) определены
25.1. Определение и формулирование целей
155
в открытом множестве N0, как описано выше, и принадлежат классу С4. В
дальнейшем из {U, <p, N) при помощи групповых операций будут получены
другие карты, с тем чтобы сделать G многообразием.
Все группы, описанные в гл. 19, являются группами Ли, когда в них
надлежащим образом определены координатные карты.
(Некоторые авторы требуют, чтобы многообразие группы Ли было связным; по
причинам, которые будут указаны в § 25.11, это требование не
обязательно.)
Например, пусть G-группа вращений SO (3) с внутренними координатами 0*,
0^, 0г, рассмотренными в § 19.6. Тогда в качестве U можно взять множество
всех элементов группы, для которых ||0(|<я (т. е. все элементы, для
которых ЦвЦ^я), а в качестве и" -множество элементов, для которых ||0|| <
я/2. Таким образом, N представляет собой внутренность шара К в R3,
который описан в § 19.6, a Na-открытый шар, радиус которого равен
половине радиуса шара К. Те же координаты можно использовать и для О (3);
в этом случае вся вторая компонента многообразия находится вне U.
Для того чтобы вывести свойства групп Ли из данных выше определений,
строится алгебра A = A(G) группы Ли G: А есть n-мерное линейное
пространство элементов к, ц, ..., в котором определена мультипликативная
операция [X, ц], так называемое произведение Ли. Структура алгебры А
полностью определяется свойствами группы G в произвольно малой
окрестности единицы 1; с другой стороны, А полностью определяет многие
свойства группы G. Затем строится так называемое экспоненциальное
отображение А в G; оно обобщает отображение М-*ем для матриц. В некоторой
окрестности начала координат пространства А это отображение является
взаимно однозначным, а компоненты элемента к служат (через обратное
отображение) в качестве так называемых логарифмических координат в G. Из
этой карты позднее получаются при помощи трансляций в G другие
координатные карты, причем они связаны с ней аналитически. Формула КБХ
(см. § 25.10) в явном виде задает ш(Х, ц) через к и ц и показывает, что в
логарифмических координатах зависимость произведения gh от g и h является
аналитической. Эта формула связана лишь со структурой алгебры Ли, и
отсюда следует, что в окрестности единицы 1, где определены
логарифмические координаты, структура группы G целиком зависит от ее
инфинитезимальных элементов.
При исследовании групп Ли в приблизительно равных пропорциях
комбинируются анализ, алгебра и топология. Применение мощных методов
линейной алгебры дает полную классификацию алгебр Ли, из которой в свою
очередь следует классифи-
