Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
G; присоединенные представления алгебр Ли и односвяэных групп Ли; формула
Кэмпбелла - Бейкера - Хаусдорфа; трансляция карты; идеалы;, простая
алгебра Ли; локальный и глобальный гомоморфизмы групп; теория
гомоморфизмов; центр группы; центр алгебры; накрывающая группа; прямая и
полупрямая суммы алгебр Ли; классификация простых алгебр Ли.
Предварительные сведения: гл. 18, 19, 23, 24, §21.1-21.4
Темой данной главы является современная теория непрерывных групп, часто
неточно называемая теорией групп Ли. Большинство самих этих групп играет
определенную роль в физике и математике на вполне элементарном уровне. К
этим группам относятся группы вращений и движений, группы Лоренца и
Пуанкаре, унитарные и симплектические группы. Новое здесь состоит в
изучении групп и связанных с ними структур с более глубокой
аналитической, алгебраической и топологической точек зрения. Ключом к
такого рода изучению является теория алгебр Ли и взаимодействия между
группами и их алгебрами. Это взаимодействие уже играло некоторую роль в
квантовой механике с самого начала в том смысле, что элементы алгебр Ли
появлялись в виде операторов, которые выводились из свойств симметрии
физической системы. В течение последних 25 лет многое из терминологии и
некоторые специальные группы, такие, как группы, выводимые из алгебры Ли
G2, появились в физике частиц. Правда, до сих пор применение указанной
теории носило в основном эвристический характер, но представляется вполне
вероятным, что по мере развития физической теории детали математического
аппарата будут иметь все большее значение. В большинстве случаев теория
групп Ли излагается весьма глубоко и поэтому оказывается затруднительной
для неспециалиста. Я пытался представить эту теорию максимально
элементарным образом, по возможности согласованным с полным описанием.
Например, векторное поле на многообразии группы по определению состоит из
таких компонент, которые преобразуются по некоторому закону (так это
делается в физике), а не как абстрактное отображение (дифференцирование)
в алгебре функций из класса С".
25.1. Определение и формулирование целей
153
25.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЦЕЛЕЙ
Группой Ли является группа G, элементы которой g, h, ... можно
рассматривать как точки некоторого многообразия таким образом, что
теоретико-групповые свойства элементов изменяются непрерывно на этом
многообразии. Другими словами, если g, h и gh представлены в картах {U,
ф, N}, {[/', ф', N'} и {[/", ф", N"\ (эти карты не обязательно различны),
то координаты элемента gh должны быть непрерывными функциями координат
элементов g и h, т. е. компоненты ф" (gh) должны непрерывно зависеть от
компонент ф(?) и ф'(Л); координаты g_1 должны быть также непрерывными
функциями координат g. Если G - группа матриц, подобно SU(2) или 50(3), и
если многообразие определено, как в § 19.5, то рассматриваемая
непрерывная зависимость получается автоматически, поскольку элементы
матриц АВ и А-1 (для невырожденной А) зависят непрерывно от элементов
матриц А, В и А соответственно. Если G-абстрактная группа, то непрерывную
зависимость, о которой здесь говорится, следует постулировать.
Формальное определение можно дать многими способами, ибо очень немногие
основные свойства влекут за собой многие другие свойства. Например, часто
постулируют, что группа должна быть С°°-многообраэием, но Гильберт в 1900
г. предположил, что от группы необходимо лишь требовать быть С°-
многообразием, и тогда она автоматически будет С°°-многообразием; это
предположение в 1952 г. проверил Глисон и независимо от него Монтгомери и
Зип-пин. Они показали, что многообразие любой группы Ли на самом деле
является вещественным аналитическим многообразием. Кроме того, необходимо
лишь постулировать одну координатную карту на группе, а именно карту,
локализованную в малой окрестности единичного элемента, в которой gh и
g_1 непрерывны; остальная часть структуры многообразия тогда получается
при помощи аксиом группы. Определение, данное в этой книге, постулирует
только то, что требуется для вывода остающихся свойств элементарными
методами.
Известные группы Ли, включая все те, которые (насколько я знаю) когда-
либо встречались в приложениях, являются линейными группами Ли, т. е. они
изоморфны группам линейных преобразований в конечномерном пространстве
или, что эквивалентно, изоморфны группам матриц. Это часто относится даже
к тем группам, которые появляются как группы нелинейных преобразований.
Например, группа преобразований Мёбиуса в комплексной плоскости
г - (аг + (3)/(уг + б) (аб-уР^О)
изоморфна ограниченной группе Лоренца, которая линейна. Далее, многое в
теории упрощается в случае, когда рассматриваются группы матриц, а не
абстрактные группы Ли; например, экспонента от матрицы, exp М,
элементарна и хорошо известна, тогда как
154
Г л. 25. Г руппы Ли
соответствующее построение для алгебры Ли абстрактной группы Ли требует
техники, которая будет развита в последующих пяти параграфах. Итак, для
