Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
отображение является изоморфизмом, но, будучи расширено глобально, оно
становится (2->1)-гомоморфизмом группы SU(2) на группу SO(3), который был
рассмотрен в § 19.7.
25.6. Экспоненциальное отображение. Логарифмические координаты 161
Заметим, что Л2 и Л3 являются вещественными алгебрами Ли. Хотя матрицы %,
т]2, т]3 и комплексны, Л2 состоит из линейных комбинаций этих матриц с
вещественными коэффициентами.
25.6. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ.
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
Мы ищем кривую g(t) в группе G, такую, что
g(t + s) = g(t)g(s); (25.6.1)
точки этой кривой образуют одномерную абелеву подгруппу; g(0) есть 1
группы G. Соответствующая кривая x(t) = <p(g(?)) проходит через начало
координат координатного пространства R" и удовлетворяет уравнению
хс (t + s) = m'(x (t), x(s)). (25.6.2)
Взяв от этого уравнения d/ds и положив затем s = 0, получим
x' (0 = ?/(x(f), 0)Я', (25.6.3)
где q) (• , •) определяется как
q)(x, у) = дт' (х, у)/ду> (25.6.4)
и принадлежит классу С3, а X1 (/ = 1, ..., п)-компоненты касательного
вектора Я к х (t) в t = 0. Система обыкновенных дифференциальных
уравнений (25.6.3) при начальном условии х(0) = 0 имеет для данного Я
единственное решение x(t) в некоторой окрестности ? = 0. Из вида
(25.6.3) ясно, что решение зависит
от Я и t только через комбинацию tX\ поэтому мы можем запи-
сать решение как x(t, X) = X(tX). Соответствующая кривая g(t) в G
обозначается через ехр (tX) или еа в силу уравнения (25.6.1), которое
теперь принимает вид ea+s>% = eaesX\ следовательно, X(tX) = q> (еа). Это
обобщает определение экспоненциальной функции абстрактным образом до
отображения алгебры Ли Л на группу Ли G, но, в случае когда элементами G
и Л являются матрицы, это определение согласуется с обычным. Функция Х(*)
принадлежит классу С3.
До сих пор уравнение (25.6.1) использовалось только для таких s, которые
принадлежат малой окрестности нуля, но теперь будет показано, что это
функциональное уравнение или, что то же самое, уравнение (25.6.2)
справедливо для всех t и всех s.
Теорема. Решение х (t) уравнения (25.6.3) удовлетворяет уравнению
(25.6.2) для всех i и s, таких, что x(t), x(s) и x(f-f-s) определены.
Замечание 1. Это утверждение не следует очевидным образом из одного
только вида уравнений (25.6.2) и (25.6.3), потому что.
162
Гл. 25. Группы Ли
как будет видно, в доказательстве придется использовать ассоциативный
закон группового умножения.
Замечание 2. Коль скоро функциональное уравнение g(/+s)= ¦=g(/)g(s) было
установлено для t, s и /+s в интервале (-Т, Т), само уравнение затем
можно использовать для определения g(t) при t из интервала (-2Т, 2Т),
затем при t из (-4Т, 4Т) и т. д. Вследствие этого g(t) однозначно
определено для всех t и удовлетворяет функциональному уравнению для всех
/ и s - детали предоставляем читателю.
Замечание 3. Если G - группа матриц, так что элементы к алгебры Л
являются также матрицами, то соответствующее уравнение
ех a+s) _extexs (25.6.5)
обычно устанавливается следующим образом. Матрица
H(s) = (eM)-1e!i <t+s>,
рассматриваемая как функция от s, удовлетворяет тому же самому
дифференциальному уравнению и тому же начальному условию, что и функция
els, а именно
dp (s)/ds = p. (s) к, ц(0) = /;
поскольку решение этой задачи с начальными данными единственно, отсюда
следует, что
(ек')-1^и+5,ж=ек$,
что эквивалентно (25.6.5). Это рассуждение приведено в качестве модели
помещенного ниже доказательства для абстрактного случая.
Доказательство теоремы. Будет показано, что функция
у (s) = m (I (х (<)), x(^-j-s)), (25.6.6)
являющаяся координатой элемента группы g (t)~l g (/ -f-s), удовлетворяет
тому же самому дифференциальному уравнению (25.6.3) и тому же начальному
условию, что и функция х (s), которая является координатой элемента
группы g (s); поскольку решение этой задачи с начальными данными
единственно, отсюда последует, что g (s) - g (t)-1g (f-f-s); поэтому g
(t-\-s) = g (t) g.(s), что и требовалось доказать. То, что функция у (s)
удовлетворяет начальному условию у (0) = 0, следует из равенства g(6-
1g(0=l. Дифференцирование
(25.6.6) по s и подстановка выражения, подобного (25,6.3), для
xl (f-f-s) дают
</'(s) = <?):(l(x(0), x(t + s))qi(x(t + s), 0)Х*. (25.6.7)
Теперь будет показано, что полный коэффициент при X* в правой части этого
уравнения равен qlk(y(s), 0), так что у (s) удовлетворяет тому же
уравнению (25.6.3), что и х (s). Для этого воспользуемся законом
ассоциативности группового умножения в следующей форме:
(У (s), z) =m' (m (I (х (<))> x(<-j-s)), z) =
= 0 (х (0). m (х (t -j-s), z)); (25.6.8)
25.7. Лемма о внутренних автоморфизмах. Отображение Adp,
163
это эквивалентно равенству [g (О-1 g (^ + s)l h = g (t)~l [g (f + s) h].
Дифференцирование no Zk дает
9* (У (s). *)=9}(l(x(0). m(x(/+s), z))^(x(/+s), z),
поэтому
9ft (У (s). °)=9)(1 (X(0). x(/ + s))9?(x(/ + s), 0),
так что у (s) и x (s) удовлетворяют одному и тому же уравнению, и теорема
доказана.
Для / = 1 мы имеем
