Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 70

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 162 >> Следующая

элемент g'=ge, так что е близок к 1 (насколько близок, сейчас будет
ясно). Тогда g'=ag1z = bhi е. Поскольку IV- открытое множество, gi и hi
являются внутренними точками. В силу непрерывной зависимости координат
элементов gi = gxe и /i1 = /i1e от координат элемента е существует такая
окрестность IV0 единицы, что для e?lV0 gi и hj принадлежат IV (см. рис.
25.1). Множества giW0 = {gie: e?lV0) и hiW0={h1e: e?lV0) представляют
собой окрестности в IV соответственно элементов g, и /г,, т. е. открытые
множества, содержащие соответственно g, и hu так как, согласно
приведенному выше пояснению, левые трансляции на g, и А, являются
гомеоморфизмами в IV. Следовательно, поскольку g = ag1 = bh1, glV0
является открытым множеством в топологии каждой карты и содержится в
обеих картах. Таким образом, первое из условий согласованности карт
удовлетворено.
Далее нужно доказать, что координаты 0ф(&) = 1п&1 и ьф(&) = 1пАх
аналитически зависят друг от друга для всех элементов g, которые можно
представить как в виде aglt так и в виде bh,, где gx и Ах принадлежат IV.
Из того что b~1a = h1gT1, а Ах и gx принадлежат IV, следует, что 5_1а
находится в V (даже если сами а и Ь не находятся в окрестности U, где
определены логарифмические координаты). Следовательно, In А,, равный
In((5-1а) gi), зависит аналитически от lng, согласно формуле КБХ.
Аналогично lngi зависит аналитически от 1пАх. Наконец, аналогичными
рассуждениями можно показать согласованность двух правотранслированных
карт, а также согласованность карт, одна из которых является
правотранслиро-ванной, а другая-левотранслированной.
Теорема 2. Если группа Q покрывается транслированными картами, как
описано выше, то справедлива аксиома отделимости Хаусдорфа.
Рис. 25.1,
25.11. Трансляции карт. Согласованность
173
Доказательство. Пусть а и Ь-две произвольные точки группы; предположим,
что они неотделимы в том смысле, что любая окрестность точки а и любая
окрестность точки Ь имеют непустое пересечение. Следует доказать, что в
таком случае а=Ь. Обозначим через ||-|| норму в алгебре А, например
евклидову норму относительно некоторого базиса г±, ..., е" в Л. Пусть для
любого б > 0 Иб -окрестность единицы, содержащая те элементы g и W, для
которых || In g || < б. Тогда aU& и Ы1е> являются окрестностями элементов
а и Ь\ возьмем в качестве g элемент из aUt> П bUts > так что g = а& =
Ьг\, где е и г] принадлежат (Je ¦ Тогда Ь~га - т)в-1. Поскольку In т|е-1
определяется при помощи формулы КБХ через In т] и 1пе-1 = -1пе, причем
последние можно сделать сколь угодно малыми при подходящем выборе б, то
видно, что 1п т|в-1 равен нулю; но это значит, что и 1п6-1а равен нулю,
откуда Ь~*а = 1, что и требовалось доказать.
Таким образом, группа G, для которой существует покрытие транслированными
картами (а в дальнейшем мы будем это допускать), является вещественным
аналитическим многообразием. Как и в гл. 23, мы предполагаем, что группа
G может быть покрыта счетной совокупностью таких карт.
Лемма. Левая или правая трансляция есть аналитическое отображение во всей
группе G.
Доказательство Левая трансляция g-*ag отображает карту {bW< (,(р, N} (Ь
произвольно) на карту {abW, abtр* N}; соответствующее координатное
отображение тождественно, ибо если g = bhi то
МР (g) = аьф (аё) = In h.
Аналитичность подобного отображения в правотранслированных картах следует
из согласованности карт.
Теорема 3. Произведение элементов и обратный к элементу аналитичны во
всей группе G.
Доказательство для произведения. Пусть а и b-произвольные элементы G.
Обозначим через a<p, j,(p, аь<р координаты в картах, полученных из
базисной карты при помощи левых трансляций на а, Ь и Ьа. Будет показано,
что для g и Л, близких к 1, координата аЬ<р элемента (ag) (bh) зависит
аналитически от координаты а<р элемента ag и от координаты (,ф элемента
bh. Тогда в силу аналитической согласованности всех транслированных карт
такое же заключение следует для любых трех карт, в которых соответственно
расположены а, b и ab. Далее,
аЬф (agbh) = abф (abb~1gbh) = In (b~1gbh)\
поэтому нужно показать аналитическую зависимость последнего члена данного
равенства от In g и In Л. Элемент b~xgb получается из элемента g при
помощи левой трансляции на б-1, которая осуществляется после (или до)
правой трансляции на Ь, причем b~1gb= 1 для g=l; следовательно, для g
вблизи 1 In (6-1g6) существует и аналитически зависит от In g согласно
доказанной выше лемме. По формуле КБХ In (b~1gbh) зависит аналитически от
In (b~1gb) и 1пЛ, откуда следует утверждение теоремы относительно
произведения.
Доказательство аналитичности обратного элемента остается читателю в
качестве упражнения.
Теорема 4. Главная компонента многообразия G, т. е. компонента,
содержащая единицу, порождается любой окрестностью
174
Гл. 25. Группы Jlu
W0 единицы. Иначе говоря, любой элемент g в этой компоненте можно
представить в виде конечного произведения g = gig2.., где каждый gt
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed