Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
бы еще более тонкую структуру аттрактора. Для других значений б, например
0,03, также имеется хорошее согласие.
§ 7.4. Проблема турбулентности
Рассмотрим теперь связь исследованных выше конечномерных хаотических
потоков с движением сплошной среды ("жидкости") с бесконечным числом
степеней свободы. Сначала мы обсудим вопрос, в каком смысле конечномерные
модели аппроксимируют жидкость, а затем опишем некоторые механизмы
перехода от регулярного движения к турбулентному.
7.4а. Представление Фурье
Будем описывать поведение жидкости с помощью дифференциальных уравнений в
частных производных вида
Wi^JL = g(x)Q(x, 0, (7.4.1)
dt
где Q - УИ-мерный вектор состояния жидкости [компонентами Q могут быть,
например, давление р (х, t), скорость жидкости v(x, t), плотность р (лг,
t) и т. д. ], х - обычный радиус-вектор с компонентами х, у, г, а 3! (х)
- независящий от времени нелинейный дифференциальный оператор. Обычный
метод изучения системы (7.4.1) состоит в переходе к представлению Фурье
для вектора Q:
Q(x, 0 = (7.4.2)
k
где
V* W f d$x^ (*' 0 e~'k'X¦ (7-4-3)
(2л)3 ь
Подставляя (7.4.2) в (7.4.1) и используя ортогональность функций е1к'х ,
получаем уравнения движения в виде *)
Як - Vk (tfi . . • Як). (7.4.4)
Если оставить в сумме (7.4.2) N "наиболее существенных" мод, то задача
сведется к конечному числу (MN) обыкновенных диффе-
Б Такое представление годится, конечно, только для модельных задач с
простейшими граничными условиями. В более общем случае обычно
используется разложение по собственным функциям соответствующего системе
(7.4.1) линейного уравнения (см., например, книгу [534]).- Прим. ред.
Диссипативные системы
475
ренциальных уравнений первого порядка, описывающих временную эволюцию
этих мод. Такой метод называется приближением Галёркина.
Рассмотрим в качестве примера задачу Рэлея - Бенара о тепловой конвекции
(рис. 7.31, а). Слой жидкости толщиной h в поле тяжести подогревается
снизу при постоянной разности температур АТ = Тх-Т0. Движение жидкости
описывается уравнениями
г
Ъ
б
Рис. 7.31. Конвекция Рэлея-Бенара.
а - схема опыта; А Т - Т х- Т0 > 0; б - стационарная конвекция при
ДГ>ДГС.
Навье-Стокса. Ограничиваясь двумерным движением (д/дг = 0), введем
функцию потока ф (х, у, t), которая связана со скоростью жидкости v (х,
у, t) посредством формулы
г> = ух(г"ф). (7.4.5)
Введем также функцию 0 (х, у, t), описывающую отклонение температуры Т
(х, у, t) от линейной зависимости по у:
в^Т-Т. + ^у. (7.4.6)
п
В отсутствие конвекции 0 = 0. Для выбранных переменных задача сводится к
двум уравнениям в частных производных [283]:
д /л i\ / дф ЗДф Злр ЗДф \ .о. 30 .
(73.7а)
476
Глава 7
<50 / <5ф <50 с?ф <50
дt \ дх ду ду дх
Здесь v - кинематическая вязкость, g - ускорение силы тяжести, а -
коэффициент теплового расширения их - температуропроводность 4). Примем
граничные условия в виде 0 = ф = Аф = О при у = О и у = h, что
соответствует фиксированным Т0 и 7\ и свободной поверхности жидкости. При
малых АТ имеется устойчивое равновесное состояние ф = 0 = О,
соответствующее покоящейся жидкости и молекулярной теплопередаче. Еще
лорд Рэлей изучал линейную устойчивость этого состояния и показал, что
выше некоторого критического значения АТс оно становится
неустойчивым и в жидкости возникают циркулирующие
потоки,
(рис. 7.31, б):
ф = фо5Ш ^ я"х j sin j , (7.4.8а)
0 = 0ocos^-^-^) (7.4.86)
где параметр а характеризует периодичность движения по х. Введем
безразмерное число Рэлея, характеризующее разность температур:
Ra= gK/l3Ar., (7.4.9)
хх
Критическое значение числа Рэлея, определяющее возникновение устойчивой
конвекции, равно
r ТГ1. (7.4.10)
а2
и принимает минимальное значение 27 л4/4 для а - 1/д/2-
При дальнейшем увеличении Ra выше Rc регулярная конвекция становится
линейно неустойчивой. Эксперимент показывает, что конвекция становится
при этом нестационарной и нерегулярной. Для анализа этого случая, следуя
Зальцману [359], разложим ф и 0 в двойной ряд Фурье по х и у, так что
коэффициенты разложения будут зависеть только от t. Оставляя конечное
число членов, получаем представление движения в конечномерном фазовом
пространстве фурье-амплитуд. Зальцман численно нашел случаи хаотического
движения 2). Лоренц [283] исследовал упрощен-
1) Величина со = - Дф характеризует вращение элемента жидкости вокруг оси
г и называется завихренностью (гсо = V X г>).- Прим. ред.
2) См. благодарности в статье Лоренца [283].- Прим. ред.
М бф
h дх
хА0. (7.4.76)
Диссипативные системы
477
ную систему, в которой оставлены только три фурье-амплитуды:
" ф= ^2X(t) sin (^) sin ((tm)-),
х(1+а*) * V W \ h j [ h )
(7.4.11)
_5g_0 = A/2" F(/)Cos^-y^j sin (-y-) - z(0 sin
Здесь X - амплитуда конвективного движения, Y - разность температур между
восходящими и нисходящими потоками, a Z - отклонение вертикального
профиля температуры от линейного. Подставляя (7.4.11) в уравнение
(7.4.7), приходим к модели Лоренца:
Х= - аХ + аУ, (7.4.12а)
