Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Периодическая _ -------------Периодическая >---------------->
Странный
траектория удвУоРениЦяЯ траектория БудвоРе(tm)ЦяИ аттрактор
(период 2 Т) (период 4 Т)
Хаотическое движение с перемежаемостью
Некоторые экспериментальные данные, по-видимому, подтверждают модель
Рюэля-Тэкенса. Так, в спектрах мощности появляется сначала одна, затем
вторая и, возможно, третья независимая частота. На пороге появления
третьей частоты внезапно возникает широкополосный шум, который
свидетельствует о переходе к хаотическому движению. Экспериментально
исследовались как вихри Тейлора в жидкости между вращающимися цилиндрами
[125], так и конвекция Рэлея-Бенара [5]. На рис. 7.32 из популярной
статьи Суинни и Голуба [396] показаны спектры скорости жидкости для
течения Куэтта (слева) и для конвекции Рэлея-Бенара (справа). В обоих
случаях перед переходом к непрерывному спектру наблюдается сначала одна,
а затем две независимые частоты fx и /2. Однако это зависит, вообще
говоря, от начальных условий и иногда частотыи /2 оказываются
синхронизованными х). В другом эксперименте по течению Куэтта [158]
наблюдались по крайней мере четыре независимые частоты. Это указывает на
то, что переход к турбулентности происходит не всегда после двух
бифуркаций Хопфа, как в модели Рюэля-Тэкенса.
Третья модель перехода к турбулентности, предложенная Фей-генбаумом,
связана с последовательностью бифуркаций удвоения периода [122]. Переход
начинается с бифуркации Хопфа из устойчивого фокуса в предельный цикл с
частотой /х. При дальнейшем
В То есть отношение частот /1//2= m/п рационально (в пределах точности
измерений ~ 10~4, см., например, работу [541]). Экспериментальная
независимость (несоизмеримость) частот определяется с той же точностью
для \т\, |га|<20.- Прим. ред.
482
Глава 7
увеличении параметра происходят последовательные бифуркации удвоения,
приводящие к периодическому движению с частотами /Д2, /у/4, /у/8 и т. д.
Эта последовательность сходится при некотором критическом значении
параметра, при котором возникает странный аттрактор (табл. 7.2). Механизм
удвоения периода был описан в § 7.2 и п. 7.3а, где показан его
универсальный характер. Существенно, что вблизи критической точки
движение является близким к одномерному (см. п. 7.3а).
ю1
10-1
н
СЧ1 10-3
чо
X ю1
о
Q
а. 10-'
3
Ё 10-3
О
3 О ю1
5-
Е 10-'
CD
П О 10-3
¦ Течение Куэтта A
А Л
А A
Относительная частота f/f0
ю-1 10 3 10 s ю-1 10"3 10'5 .10 10 10
-1
A
Конбекция
У,
A
0 0,05 0,15
Частота Х/Гц
Рис. 7.32. Спектры скорости жидкости между вращающимися цилиндрами при
трех значениях частоты внутреннего цилиндра /0 (слева), то же для трех
значений АХ в задаче Рэлея - Бенара (справа) (по данным работы [396]).
Модель Фейгенбаума хорошо подтверждается численными экспериментами на
простых моделях. Как мы видели выше, бифуркации удвоения периода найдены
и во многих динамических системах с малой размерностью, таких, как
аттрактор Рёслера, отображение Хенона, уравнение Дюффинга и др. Некоторые
эксперименты по конвекции Рэлея-Бенара обнаруживают эти бифуркации, а
также некоторые признаки их универсальности. Спектры скорости высокого
разрешения в эксперименте Рэлея-Бенара с водой, показанные на рис. 7.33
[155, 157], демонстрируют некоторые из бифуркаций удвоения. Было
проведено также сравнение экспериментальных значений амплитуд субгармоник
с предсказаниями модели Фейгенбаума. Как показано в п. 7.26, отношение
амплитуд развитых субгармоник должно быть равным у х- 6,6. На рис. 7.33,г
Диссипативные системы
483
расстояние между верхней прямой, проведенной по пикам гармоник частоты
/а/2, и нижней прямой соответствует множителю 6,6. Видно, что большинство
пиков гармоник частоты /2/4 примерно ложатся на нижнюю прямую в
соответствии с теорией х). В другом
10° кг2 10"
10°Н0-6
3 10"
5
ib
Cl-
10°110 6
10"
10"
10"
0,0 0,1 0,2 0,310,0 0,1 0,2 0,3
/,Гц
Рис. 7.33. Бифуркации удвоения периода в эксперименте Рэлея-Бенара (по
данным работы [157]).
а -в - при увеличении числа Рэлея возникают субгармоники; г - хаотические
полосы; д - непрерывный спектр; е - при уменьшении RQ появляется вторая
частота f*.
эксперименте по конвекции Рэлея-Бенара в жидком гелии 1263] наблюдались
последовательные субгармоники /ь /у/2, fj4, /х/8 и /т/16 в спектре
температуры. Отношение амплитуд последовательных субгармоник также равно
примерно 6,6 (см. работу [123]).
х) Сравнение экспериментальных данных на рис. 7.33, г для фиксированного
значения параметра С с законом подобия (7.2.44) для разных С возможно
вследствие того, что при бифуркации удвоения амплитуды прежних частот
(четные гармоники на рис. 7.33, г) остаются неизменными согласно
(7.2.40). При сравнении необходимо, во-первых, учитывать, что масштабный
фактор у относится к амплитудам гармоник, а во-вторых, брать только
нечетные до бифуркации гармоники, т. е. только второй и шестой пики на
рис. 7.33, г. В результате среднее у яг 4,4 (см. примечание редактора на
