Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
вращающимися цилиндрами (так называемое круговое течение Куэтта). Эти
примеры мы и используем ниже при сравнении с различными гипотезами о
механизме возникновения турбулентности.
Первоначальная картина возникновения турбулентности, предложенная Ландау,
была основана на представлении об иерархии неустойч ивостей. При
увеличении некоторого параметра, например числа Рейнольдса или числа
Рэлея, нелинейные колебания жидкости теряют устойчивость и появляются все
новые и новые независимые частоты движения со 1; соа, со3 . . . . При
этом должно наблюдаться квазипериодическое движение с одной, двумя, тремя
и т. д. основными частотами. Таким образом, мы приходим к
последовательности бифуркаций Хопфа, т. е. к движению по поверхности
некоторого тора возрастающей размерности. Движение выглядит все более и
более сложным, однако непрерывный спектр и хаотическое движение возникают
лишь при бесконечном числе бифуркаций. Модель Ландау представлена
схематически в табл. 7.2.
Хотя в экспериментах и наблюдается до четырех [158] независимых частот,
резкий переход к непрерывному спектру не согласуется с моделью Ландау 1).
Помимо этого, теоретически было показано (см. работу [112]), что
последовательность бифуркаций Хопфа, как и само квазипериодическое
движение, не являются типичными. Судя по рассмотренным выше примерам
резкого 2) возникновения непрерывного спектра, связанного с образованием
странного аттрактора, можно ожидать, что именно такой механизм
:) Поучительно отметить, что эта "квазипериодическая" модель
турбулентности была очевидно навеяна аналогиями с квантовой механикой.
Вот соответствующая цитата из оригинальной работы Ландау [251]:
"Задача об определении возможных значений "частот" ?2 при данных
граничных условиях движения представляет собой Eigenwert-проблему. В
результате ее решения должен получиться спектр "собственных частот" . . .
Можно предполагать, что частоты непрерывного спектра соответствуют
движениям г>! [возмущение], не затухающим на бесконечности [в
пространстве], а частоты дискретного спектра - движениям, достаточно
быстро затухающим на бесконечности (подобно тому, как это имеет место во
многих других Eigenwert-проблемах) . . . Соответственно этому ниже мы
можем рассматривать только "частоты" Q дискретного спектра".
В квантовой механике это действительно так.- Прим. ред.
2) Представление о "резком" переходе к хаотическому движению является
условным. Так, например, в механизме бифуркаций удвоения хаотический
аттрактор появляется в критической точке (С = С ас) лишь номинально,
поскольку мощность хаотической компоненты движения в этой точке равна
нулю и плавно возрастает в результате обратных бифуркаций (см., например,
рис. 7.22).- Прим. ред.
480
Глава 7
Таблица 7.2. Модели и механизмы перехода к турбулентности
Модель Механизм
а) Ландау Неподвижная точка Периодическая траектория
Бифуркация Хопфа Бифуркация Хопфа
б) Рюэль - Тэкенс ¦- Ньюхаус То же То же
То же ' То же
в) Фейгенбаум " " (период Т)
Бифуркация удвоения
г) Помо - Ман-невиль
Обратная тангенциальная бифуркация
и послужит основой построения современной теории турбулентности, как это
и оказывается в действительности.
Рюэль и Тэкенс [355 ] предложили другой механизм возникновения
турбулентности, согласно которому сначала происходят две последовательные
бифуркации Хопфа, как и в модели Ландау, однако затем нелинейность
разрушает трехчастотное движение и образуется "странный" аттрактор (табл.
7.2). По первоначальной гипотезе требовалась размерность потока не менее
четырех. Предположение о неустойчивости трехчастотного аттрактора в
типичном случае было позднее доказано, а минимальная размерность
сокращена до трех [317]1).
Модель Рюэля-Тэкенса исследовалась численно на примере простого
двумерного отображения [100]. Были обнаружены переходы от устойчивого
фокуса к предельному циклу, затем к двухчастотному движению и, наконец, к
странному аттрактору. В этой связи важно отметить, что в отличие от
модели Лоренца с тремя модами в модели конвекции Рэлея-Бенара,
использующей 14 мод, также обнаружен квазипериодический аттрактор на
некоторой двумерной поверхности в 14-мерном фазовом пространстве [98].
9 Хотя работа [355] оказала фактически заметное влияние на развитие как
теоретических, так и экспериментальных исследований по турбулентности,
предложенный ее авторами конкретный механизм хаоса, связанный с
резонансами высоких гармоник, представляется слишком "нежным" для такого
"грубого" явления, как гидродинамическая турбулентность. Что же касается
минимальной размерности потока, то этот вопрос был выяснен еще в
классической работе Лоренца [283] (см. также работу [533]).- Прим. ред.
Диссипативные системы
481
Механизм
Квазипериоди-ческая траектория (две основные частоты)
Бифуркация
Хопфа
Квазипериоди-чеекая траектория (три основные частоты)
Бифуркации
Хопфа
Т урбулент-ное движение
То же
Странный
аттрактор
