Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 158

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 152 153 154 155 156 157 < 158 > 159 160 161 162 163 164 .. 942 >> Следующая

(7.3.3)
2
В некоторых случаях стандартная форма (7.3.2) находится непосредственно.
Например, отображение
""+1 = (l-SK + An" + Z*,2,
Vh = ^ + ""+i
сводится к (7.3.2) с помощью замены х = Dvl2, С = (2-б + А)/2
*) В случае периода k берем отображение Тк.
Диссипативные системы
455
и\В = 1-6. Отображение Хенона (7.1.14) может быть сразу записано в
стандартной форме.
Квадратичная ренормализация. Исследуем, как и в п. 7.26, поведение вблизи
неподвижной точки х10 = 0 при уменьшении С. Неподвижная точка устойчива,
если
|С|<1±*.
и неустойчива при
С<
(7.3.5)
Х2 + = а ± Ь
В результате бифуркации рождаются две устойчивые неподвижные точки *2+
(см. рис. 7.12). Оба корня можно найти, записывая
(7.3.6а) (7.3.66) (7.3.6b)
и итерируя (7.3.2) дважды [ср. (7.2.21) ]:
2а =
4 Ь2--
1 +В
С-
-с,
в
с-
3(1 + Д)
Подставляя х = х2~ + Ах в (7.3.2), получаем
Ахп + ВАхп_2 = еАхп_
Дх
п+1
+ ВАхп_х = dAxn + 2 (Ахпу
Ах
п+2 + ВАХп = еАхп+1 + 2 (Ахп+д2
(7.3.7а)
(7.3.76)
(7.3.7b)
где d не имеют вид [см. (7.2.22) и (7.2.23) ]:
d = 2C + 4x2+, (7.3.8а)
-е = 2С +4х2_. (7.3.86)
При четных п траектория находится вблизи х2+, а при нечетных -
вблизи х2_. Умножая (7.3.7а) на В, (7.3.76) на е и
складывая за-
тем с (7.3.7в), получаем
Длтг+2 В' Ахп_2 = 2С'Ахп -)- 2е (Дхп)2 -f- 2 [(Дхга_|_])2 -f-
+ В(Дх"_1)2], (7.3.9)
где
В' = В2,
(7.3.10а)
С'=-L.de-?= - 2С2 + 2(1 + В)С + 2В2 + ЗВ + 2. (7.3.106)
456
Глава 7
Член в квадратных скобках в (7.3.9) пропорционален (Лл'")2.
Действительно, вводя г = Axn+1i Axn-i, находим
(H+l)2 + В (А*п-.)2 = ^ <7'3'1
Пренебрегая квадратичным членом в (7.3.76), имеем
(г -f- В) Ал:"_х " dAxn. (7.3.12)
Подстановка (7.3.12) в правую часть (7.3.11) дает
(А*"+1)2 + В (Ахп^У " (Д*я)*. (7.3.13)
Вследствие квадратичной зависимости при бифуркации удвоения г " 1, т. е.
[ Ахп+1 [ близко к | Ахп_х [. Правая часть (7.3.13) имеет экстремум при г
= 1 и поэтому слабо зависит от г при г " 1. Отсюда
(Axn+1)2 -f В (Axn^f " -f- (Ах")2. (7.3.14)
1 | D
Подставляя (7.3.14) в (7.3.9) и переходя к переменной
х' = аАх, (7.3.15)
находим
•<+2 + В'Хп-2 = 2С'а" -г 2 (Д)2, (7.3.16)
где
а^е+-^-. (7.3,17)
1 +В к '
Отображение (7.3.16) имеет тот же вид, что и исходное (7.3.2). Поэтому
неподвижные точки нового отображения испытывают бифуркацию при тех же
значениях новых параметров В' и С' [см.
(7.3.5) ]. Последовательность бифуркаций, которые описываются
соотношениями (7.3.10), сходится при значениях В' = В = B^ и С' = С =
Соо. Для диссипативного отображения | В |< 1 и из (7.3.10а) следует, что
В", = 0. Поэтому все диссипативные отображения вблизи перехода ведут себя
локально как одномерные [ср.
(7.3.16) с (7.2.26) при В' = 0 ]. Неудивительно, что при подстановке В
- В0о = 0 в (7.3.106) условие С' ~ С - Соо дает то же самое значение
Соо = - " -0,781, (7.2.29)
4
что и для одномерного случая. Бифуркационные значения С* сходятся к Соо
по тому же закону
СЛ-С""Лб-'
и с тем же множителем 6 = 1 + дЛ7 " 5,12, что и в одномерном
Диссипативные системы
457
случае. Параметр подобия ада - 2,24, определяемый формулой
(7.3.17), также совпадает с (7.2.35). Эти результаты указывают на
универсальный характер поведения всех диссипативных систем вблизи
перехода к хаотическому движению; они были проверены численно для многих
одномерных, двумерных и многомерных отображений. Однако следует
подчеркнуть, что переход к стохастичности является локальным, т. е.
относится только к данной неподвижной точке с ее последовательностью
бифуркаций. В общем случае в диссипативной системе имеется много
неподвижных точек, каждая из которых должна претерпевать свою
последовательность бифуркаций, прежде чем возникает глобальный переход к
хаотическому движению и странный аттрактор 1).
В противоположность этому бифуркации двумерных гамильтоновых отображений
устроены более сложно. Из-за сохранения фазовой площади В' = В = Boo = 1
(если В = - 1, то можно взять квадрат отображения; более подробно см.
работу [182]). Поэтому бифуркации удвоения гамильтонова отображения
сохраняют двумерный характер даже вблизи точки сгущения (численные данные
см. в работе [36]). В результате, хотя масштабные факторы б и а, а также
параметр Сх и являются универсальными для всех двумерных гамильтоновых
отображений, они имеют другие значения, чем для диссипативных
отображений. Более того, для гамильтоновых отображений имеется еще один
универсальный масштабный фактор Р, который вместе с а определяет
преобразование фазовой плоскости при бифуркациях. Определение р с помощью
обобщения описанного выше метода приводится в дополнении Б.
7.36. Движение вблизи сепаратрисы
В этом разделе мы рассмотрим метод Мельникова [299 ], позволяющий
исследовать движение вблизи сепаратрисы системы, близкой к интегрируемой.
Этот метод позволяет получить критерий возникновения стохастичности в
окрестности сепаратрисы при наличии диссипации. Мы уже видели (см. п.
3.26 и рис. 3.4), что в типичной гамильтоновой системе движение около
Предыдущая << 1 .. 152 153 154 155 156 157 < 158 > 159 160 161 162 163 164 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed