Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
описываются в работе [81 ]. Весьма полезна также обширная библиография в
обзорах Чирикова [70 J и Хелле-мана [180]; другие ссылки даются ниже.
А.1. Небесная механика
Самые ранние приложения обсуждаемых в настоящей монографии методов, как и
вообще применение самой гамильтоновой механики, связано с попытками
предсказать движение планет на достаточно большом интервале времени.
Именно к этой области относится знаменитая задача трех тел и ее
упрощенный вариант, так называемая ограниченная задача трех тел. Первая
касается движения трех произвольных гравитационно взаимодействующих масс.
В более простой "ограниченной задаче" масса одного из тел полагается
равной нулю и исследуется его движение в изменяющемся со временем
гравитационном поле двух других тел. В 1904 г. Уиттекер,
Ч Об одном интересном приложении стандартного отображения в физике
твердого тела см. работу [544] и цитированную там литературу.- Прим.
ред.
Некоторые приложения
487
обсуждая научные достижения того времени, отметил, что эта проблема
"вызвала исследования такого размаха, что с 1750 г. по этой теме было
опубликовано свыше 800 научных работ, многие из которых носили имена
величайших математиков".
Прежде всего Брунс [45 ] и Пуанкаре [337 ] показали, что все изолирующие
интегралы движения выражаются через известные (классические) интегралы,
такие, как энергия и импульс замкнутой системы х). Одновременно
выяснилось, что ограниченная задача трех тел содержит все существенные
трудности общей задачи и основные усилия были сконцентрированы на
исследовании этого упрощенного варианта.
Методы теории возмущений [337, 419] были вначале разработаны для
получения приближенных решений задачи трех тел. Затем они развивались с
использованием новой техники асимптотических разложений, основанной на
методе дополнительных (к классическим) формальных интегралов Уиттекера
[430]. Эти методы были усовершенствованы Контопулосом и его сотрудниками
[86, 87 ], а также с использованием скобок Пуассона МакНамарой и
Уайтменом [292]. Другой способ, приводящий к тем же результатам и
развитый Густавсоном [171], заключается в преобразовании гамильтониана с
помощью рядов к нормальной форме. Работы Хори [199], Гарридо [150] и
Депри [102], в которых систематически представлена техника преобразований
Ли с использованием скобок Пуассона, также появились в связи с проблемой
изучения движения планет.
Попытки решения задачи трех тел привели попутно к получению многих
интересных математических результатов. Мы уже обсуждали общую теорию
периодического движения, связанную с именами Пуанкаре [337 ] и Биркгофа
[29 ], а также развитие теории КАМ. Изучение стохастичности тоже было
обусловлено попыткой понять хаотическое поведение траекторий вблизи
гомоклин-ных точек (см., например, [374, 310]). В одном из вариантов
ограниченной задачи трех тел Ситников [379 ] и Алексеев [6 ] показали,
что в окрестности сепаратрисы (параболической траектории легкого тела)
существуют траектории с произвольно большими и случайными временами
возврата. Аналогичные результаты более абстрактного топологического
характера были получены также Смей-лом [381 ].
Для изучения движения на больших интервалах времени использовались
различные численные (иногда в сочетании с аналитическими) методы.
Примером может служить задача Хенона и Хей-
Э Теорема Пуанкаре о несуществовании дополнительных аналитических
интегралов служила в течение длительного времени источником различных
недоразумений, в частности, из нее делался неправильный вывод об
эргодичности движения. Вопрос был выяснен Колмогоровым [559] в связи с
созданием новой теории устойчивости, которая впоследствии получила
название теории КАМ.- Прим. ред.
488
Некоторые приложения
леса [188] (см. § 1.4). Обзор обширной литературы по этой плодотворной
задаче дан Чарчиллом и др. [78]. Контопулос и сотр. [88], Форд и сотр.
[423], Куммер [245], а также другие авторы с помощью численных и
аналитических методов изучали простые системы связанных осцилляторов с
целью выяснения общих свойств нелинейных колебаний, существенных и для
задачи трех тел. Как отмечалось в предыдущих главах, эти исследования
вместе с математическими результатами относительно поведения траекторий
вблизи гомоклинных точек и теорией КАМ привели (в том числе и для
ограниченной задачи трех тел) к сложной картине движения в фазовом
пространстве, подобно показанной на рис. 3.5 или 3.6.
Полная задача о движении планет с учетом их взаимных возмущений относится
к очень специальной области, выходящей за рамки этой книги. Хотя принято
считать, что результаты изучения простых моделей позволяют делать
качественные предсказания о поведении более сложных физических систем,
остается еще много нерешенных вопросов по части устойчивости последних.
Для ознакомления с соответствующей обширной литературой следует
обратиться к монографиям Уинтнера [433 ], Жебехели [400 ], Зигеля и
Мозера [374] и Хигихары [172, 173]. Недавние работы в этой области
