Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
достигнуть по методу Бриджеса и Раулэндса [40]. Они исследовали двумерные
отображения, которые можно описать в некотором пределе с помощью
одномерных отображений. Рассмотрим отображение вида
x = F(x, у), (7.3.49а)
y = bG(x, у), (7.3.496)
где b - малый параметр. Полагая в нулевом порядке у - 0, получаем
одномерное отображение
~x = F(x, 0) = F0(x). (7.3.50)
Смещение аттрактора по у определяется уравнением (7.3.496) при
у = 0. Решая это уравнение относительно х, находим
(4).
Подставляя х в (7.3.50), в итоге получаем для аттрактора уравнение
нулевого порядка:
* = JF0(V (7.3.51)
Чтобы прийти к уравнению в следующем порядке, заменим х и у в
(7.3.51) на х и у и решим его относительно у:
y = bG0(F^1 (х)). (7.3.52)
Затем, подставляя это решение, как и раньше, в (7.3.49а), получим
уравнение для аттрактора в первом порядке. Отображение Хенона (7.1.14)
имеет вид (7.3.49) с G (х, у) = х. Структура аттрактора, найденная таким
методом, удивительно хорошо совпадает с численными результатами.
Для получения инвариантного распределения методом итераций возьмем
начальное распределение в виде
Р{0) (х, у) = Рг (х) б (у-у (х)), (7.3.53)
где Рх (х) - инвариантное распределение для одномерного ото-
бражения (7.3.50), а у (х) определяется уравнением (7.3.52). При b <Д 1
это уже дает хорошее приближение для Р (х, у).
Трехмерные потоки приближенно описываются обычно с помощью одномерных
необратимых отображений, для которых и определяется численно инвариантное
распределение [324, 368]. Мы уже знаем два таких примера: аттрактор
Лоренца (§ 1.5) и аттрактор Рёслера (п. 7.16). Однако прямое сравнение
действительного распределения и одномерного приближения проводится не
часто. Израйлев и др. [210] сравнили полученные численным методом
распределение Р1 (лг) и распределение
$Р(х, y)dy
468
Глава 7
для трехмерного потока параметрически возбуждаемого нелинейного
осциллятора и нашли хорошее согласие. Они указали также, что малый
параметр в (7.3.49) связан с дробной частью фрактальной размерности df -
aj\ cr21:
b ~ ехр [| сг2 | (df- 1)] = ехр (ах + а2). (7.3.54)
Использование уравнения ФПК¦ Хорошим начальным приближением Р{0)
инвариантного распределения может служить аналитическое решение уравнения
ФПК- Такой метод наиболее удобен в случае малой скорости сжатия фазового
объема (| -J- сг= | " 0),
когда метод Бриджеса-Раулэндса неприменим. Этот случай можно
рассматривать как малое диссипативное возмущение гамильтоновых
отображений, для которых сгх + сг2 = 0.
В качестве примера возьмем ускорение Ферми с диссипацией. Используя
упрощенное отображение Улама (3.4.6), вводим диссипацию посредством
следующих формул:
"я+1 = | Ml- 6) + sini|9" j, (7.3.55а)
Ф"+1 = Фя + ^-- (7.3.556)
un-\r 1
Здесь ип - приведенная скорость частицы, б 1 - относительная потеря
скорости при столкновении с неподвижной стенкой, - фаза колеблющейся
стенки в момент соударения с частицей, а М > 1 пропорционально отношению
расстояния между стенками к амплитуде колебания стенки (п. 3.4а). Якобиан
отображения
(7.3.55) равен
R ,= - (t4+lx>+lL = 1 _6. (7.3.56)
д ("", %)
При 6 = 0 отображение является гамильтоновым и приводит к обычной картине
хаотического движения с островками устойчивости (рис. 1.14).
Для 0<с6 <<; 1 неподвижные точки в центрах областей устойчивости
становятся притягивающими фокусами и можно ожидать, что хаотическая
компонента движения будет полностью разрушена. Останется, однако,
переходной хаос вблизи сепаратрис 1), как описано в п. 7.36. Численное
моделирование отображения (7.3.55) подтвердило эти представления.
Например, при М = 100 для 0<6<0,02, в том числе и для очень малых б =-
10_6, наблюдался переходной хаос. Полное разрушение стационарного
хаотического движения при малой диссипации является, по всей видимости,
типичным для таких систем. Исследование масштаба времени, в те-
х) При достаточно малом 6 переходной хаос охватывает практически всю
область стохастичности для 5 = 0 [73, 74, 531 ].- Прим. ред.
Диссипативные системы
469
чение которого сохраняется переходной хаос, проводилось, например,
Чириковым и Израйлевым [73, 74 ]. Однако сейчас нас интересует
стационарный хаос, т. е. образование странного аттрактора.
При М = 100 численные данные убедительно показывают, что в интервале 0,03
^ б ^ 0,3 (значения б>0,3 не исследовались) имеется странный аттрактор
х). Правда, при этом нельзя исключить существование малых участков внутри
этого интервала б с периодическим движением. На рис. 7.28, а показана
поверхность сечения (и, ф) в интервале 4<ди<д7 после 4,5-105 итераций
одной траектории. Хорошо видна слоистая структура аттрактора. Более
мелкая структура внутри слоев представлена на рис. 7.28, б, где в
увеличенном масштабе показан участок фазовой плоскости 4,4<;ц<4,8. Этот
участок состоит из 200-100 ячеек, а число итераций траектории составляет
3-10(r). Если просуммировать распределение Р (и, ф) по фазе ф при
постоянном и, то получается значительно более гладкое распределение Р
