Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
= 2ф", mod 2я для фазы в (7.2.62) (см. конец п. 5.2в).-Прим. ред.
Диссипативные системы
449
ных циклов более длинного основного периода 6, 5 и 3, "разрезающие"
хаотическую область. Для обратных бифуркаций хаотических полос
выполняется закон подобия с теми же константами б и а, что и для
бифуркаций предельных циклов при СД>СХ. Эти результаты Гроссмана и Томае
[170] можно получить также из описанной в п. 7.26 приближенной теории
ренормализации [182].
Рис, 7.22. Численное моделирование последовательности обратных бифуркаций
удвоения для квадратичного отображения (по данным работы [82]). Для
каждого значения С отложены 3000 значении хп (1000 < п <4000). Видны
полосы
хаотического движения для С<С00, которые сливаются при С ~ СОтмечены
интервалы (по С) предельных циклов-. 1 - периода 3; 2 - периода 5; 3 -
периода 6.
Спектр мощности. "Шумовое" движение в хаотическом режиме можно
охарактеризовать его спектром мощности Р (со, С), где со - частота, а С -
параметр. В отличие от таких свойств хаотического движения, как
показатели Ляпунова, спектр мощности легко измерять экспериментально. В
частности, представляет интерес вид спектра при бифуркационных значениях
С* вблизи критического Сх, где происходит слияние полос хаотического
движения. Движение в этих полосах представляет собой суперпозицию
периодических колебаний и шума:
1,50
X
п
Обратные ПослеЗобагпельность
бифуркации бифуркаций
(7.2.63)
450
Глава 7
Определим фурье-амплитуду посредством формулы
XN (со, С) = J- ? хпе-Шп. (7.2.64)
N ,2 = 1
Тогда спектр мощности равен (соХ))1)
Р(со, С) = lim | XN (со, С) |2 = XI Л} |26 (со- со;) - | г (со, С) |2.
Д -уос 2 Л j
(7.2.65)
Он состоит из острых пиков (периодические переходы между полосами,
аналогичные движению на предельном цикле при С>Соо) и широкополосного
шума (хаотическое движение внутри полос).
Следуя Хьюберману и Зисоку [205], получим сначала универсальный закон
подобия для полной мощности в непрерывном спектре (7.2.68) для Ж (С). При
С - 1 (см. рис. 7.22) движение обладает перемешиванием2). Более того, как
показано в работе [170], корреляционная функция
1 jV
W{n) = lim - Ya {Xi - {x))(xi+n-(x)),
N->oc N i = 1
где
1 N
(x) = lim - Yxr N-+oo N i - l
является в этом случае "6-функцией", т. е.
( W2, п = 0,
Пп) = \ о, пфО. ^
Это очень сильное статистическое свойство, означающее полное3)
х) Спектр "мощности" (точнее спектральная плотность), он же спектр
корреляционной функции s' (п) (см. ниже), или просто спектр (в
эргодической теории) определяется как преобразование Фурье от ^ (п):
1 °°
Р (ш) = Y ^ (п) cos ((r)")-
2л п - - оо
Для дискретного времени спектр определен по модулю 2я и обладает
зеркальной симметрией Р (ш)= Р (2л-ш). Переход к непрерывному времени
соответствует только интервалу частоты (0, я) с независимыми фурье-компо-
нентами. Простое изложение спектрального анализа случайных процессов см.,
например, в работе [519].- Прим. ред.
2) Это следует из положительности КС-энтропии (см. выше).- Прим.
ред.
3) Равенство нулю конкретной корреляционной функции не означает "полное
отсутствие корреляций. Существование определенных корреляций следует
просто из функциональной зависимости x"+i = / (хп).- Прим. ред.
Диссипативные системы
451
отсутствие корреляций уже через одну итерацию отображения1). Величина W в
(7.2.66) есть среднеквадратичный размер единой полосы хаотического
движения при С = - 1. Каждая обратная бифуркация удваивает число полос и
уменьшает их ширину. В соответствии с законом подобия (7.2.36) и (7.2.37)
для половины полос ширина уменьшается в а раз, а для остальных - в а2
раз. Среднеквадратичная ширина одной полосы удовлетворяет закону
(k - номер бифуркации), или
Wk^(i^+ibVWk (7-2-67а)
Wk=W0f,~h, (7.2.676)
где
р = 3,29.
¦у/а? -у 1
Заметим, что 2|5 = у [см. (7.2.45) ]. Полная мощность в пределах основной
частоты отображения 2л равна
2я
Л (С) = \' dw! г (со, С) I2 = <вт (0), (7,2.68)
о
где корреляционная функция фг определяется только хаотической частью
движения [х" -+¦ гп, см. (7.2.63) ]. Поэтому Ъг (0) = W\ и
Л (Cl) = Л0Г2к- (7.2.69)
Но бифуркационные значения Ск сами удовлетворяют закону подобия
d-С. = (Со - С") 6-,г. (7.2.70)
Исключая к, приходим к новому закону подобия
Л (С) ос {С^С)0, (7.2.71)
где
_ 21пР
In б
1,544
- универсальная постоянная. Хьюберман и Зисок [205] проверили этот
результат путем численного моделирования отображения
(7.2.5) и получили прекрасное согласие.
9 Заметим, что для многих систем с хаотическим движением корреляции
убывают совсем не так быстро, жюгда только как степень п [60]. [В
указанной работе исследовались полностью интегрируемые системы и
"убывание" корреляций связано не с динамикой системы, а с методом
вычисления корреляций. По поводу медленного убывания корреляций см.
предисловие редактора перевода и цитированную там литературу.- Прим.
ред.]
452
Г.шва 7
Спектральная плотность хаотического движения была найдена в работе [434],
