Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
D s = (М (лг0) -/о) Л ^ + /оЛ (М (*") • *0 + Л /\ Л, (7.3.27)
или
D 5 = Sp М (лго) /о Л л? /о Л Л = Sp М (*") Ds + /0 /\ /ь
(7.3.28)
где SpM = div/0. При интегрировании этого уравнения ограничимся частным
случаем, когда невозмущенная система является гамильтоновой, т. е. SpM =
0 (см. п. 7.1а). Интегрируя (7.3.28) от t0 до оо и учитывая
асимптотическое условие Ds (оо, t0) = = /о (Яо) Л -*л = 0, находим
t0)=-S foAfidt. (7.3.29)
to
Для Du аналогичным образом получаем
Du(t" /0)= /° f0/\fidt. (7.3.30)
- оо
Подставляя (7.3.29) и (7.3.30) в (7.3.25а), окончательно имеем
оо
D(t0, g=- ifoAfidt. (7.3.31)
-оо
Полученная зависимость D от t0 определяет характер движения. Если D (i0)
меняет знак, то сепаратрисы пересекаются (рис. 7.24, г) и движение в этой
области является хаотическим.
Уравнение Дюффинга. Следуя Холмсу 1195], найдем условия перехода к
хаотическому движению для уравнения Дюффинга
х-хДх3 =-ебх + еу cos со/, (7.3.32)
которое описывает колебания нелинейного осциллятора с малым затуханием еб
под действием периодической силы с амплитудой еу. Перепишем (7.3.32) в
виде (7.3.18):
x - v, (7.3.33а)
v = x-х3 е [у cos со/-би]. (7.3.336)
Линии постоянной энергии невозмущенного гамильтониана
Нд = -- у2 . (7.3.34)
2 2 4
показаны на рис. 7.26. Имеется единственная гиперболическая
точка х = v = 0 с единой сепаратрисой при #0 = 0. Чтобы
найти
462
Глава 7
решение на сепаратрисе, выразим v (х) из (7.3.34) и подставим в
(7.3.33а). Имеем
dx /. Л'2 \12
= -х (1
dt
откуда
x0(t) = У2 /ch t, И,(0=-Л/ 2 Sht
ch Ч
(7.3.35а)
(7.3.356)
Рис. 7.26. Кривые постоянной энергии невозмущенного гамильтониана
(7.3.34).
Сравнивая (7.3.33) и (7.3.18), находим
/ 01 = v\ fn =
/02 = * - я3; f12 = ycosco/ - 8v.
Отсюда
/о Л Л = [Vcosat - 6и0],
и, согласно (7.3.31),
оо
D= - J dt\yv0(t-/0)costo/-bvl(t - г'о)]• (7.3.36)
- оо
Подставляя (7.3.356) в (7.3.36) и заменяя переменную интегрирования (т =
t-10), запишем
оо
D = -\/2 ysinco/o j" dx
sh т
ch2 т
sin сот -J- 26
i1 th2xdx .1 ch2x
Диссипативные системы
463
Второй интеграл вычисляется элементарно и равен 2 3, а первый выражается
через вычеты в точках т" = лi (п - 1,2). В результате находим1)
Хаотическое движение вблизи сепаратрисы возникает при условии пересечения
сепаратрис, т. е. когда D (t0) меняет знак. Из (7.3.37) следует, что это
происходит, если
Стационарное хаотическое движение. Нужно подчеркнуть, что условие
пересечения сепаратрис (7.3.38) является локальным критерием
стохастичности и применимо только вблизи невозмущенной сепаратрисы.
Поэтому такой критерий ничего не говорит о появлении странного
аттрактора, который представляет стационарное хаотическое движение в
большой области фазового пространства. Уравнение Дюффинга без диссипации
(б = 0) является гамильтоновым и всегда имеет хаотические решения вблизи
сепаратрисы. Мы знаем, что хаотическое движение в этом случае происходит
в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. Однако при б/>0 все
инвариантные кривые разрушаются и траектория, хаотическая вблизи
сепаратрисы, может уйти далеко от нее и "захватиться" устойчивым фокусом
или предельным циклом. Такое поведение наблюдал Холмс [195] при
аналоговом моделировании уравнения Дюффинга2). Поэтому единственное, что
можно ожидать при выполнении условия пересечения сепаратрис (7.3.38), -
это нерегулярное "блуждание" траектории в течение некоторого времени,
пока она не попадет на какой-либо аттрактор, простой или странный.
Фактически численное моделирование показывает, что появление странного
аттрактора для уравнения Дюффинга, по всей видимости, связано с каскадом
бифуркаций двух фокусов при х = = ± 1; v = 0 (см. рис. 7.26). С помощью
аналоговой вычислительной машины Холмс исследовал поведение системы при
фиксированных б и со в зависимости от у. Его результаты приведены на
рис.7.27. При ус0,76 наблюдалось только регулярное движение, показан-
х) Напомним, что расстояние между сепаратрисами находится делением D (t0)
на |./V| = |/0! = [и2 + х2 (1-х2)2]1/2 [для (7.3.32)]. Вблизи
гиперболической точки v, х -" 0, и расщепление сепаратрисы быстро
возрастает, а полученные приближенные оценки перестают быть
справедливыми. В пределах их применимости, однако, это не влияет на
условие пересечения сепаратрис (7.3.38) ниже.- Прим. ред.
2) Это явление "вырождения" хаоса, по-видимому, впервые было
обнаружено в работе [274] и исследовалось в работах [73, 74, 530].-Прим.
ред.
(7.3.37)
6<8С= зУ2лу"о
(7.3.38)
464
Глава 7
ное на рис. 7.24, в. В интервале 0,76<су<с0,95 движение было хаотическим
в течение некоторого времени, а затем траектория притягивалась к одному
из двух фокусов. Далее, для 0,95<у< 1,08 происходит каскад бифуркаций
обоих фокусов. И наконец, для 1,08<у<2,45 результаты моделирования
указывают на присутствие странного аттрактора, за исключением интервала
1,15<;у<; 1,2, где существует предельный цикл периода 5. Таким образом,
хотя как пересечение сепаратрис, так и каскад бифуркаций обоих фокусов
