Введение в термодинамику необратимых процессов - Пригожин И.
Скачать (прямая ссылка):
Лиувилля. Это значит, что мы должны оставить обычный класс унитарных (или
антиунитарных) преобразований и расширить область используемых симметрий
квантовомеханических операторов. К счастью, установить класс
преобразований, которые мы теперь рассмотрим, не составляет особого
труда. Средние величины можно рассчитать как при прежнем, так и при новом
способе задания функций. Результаты должны быть получены одни и те же.
Иными словами, требуется, чтобы
^ - tr р+(0)е*ф+<г(Ф - Ф+),
е"<ф*р(0) ^ 0.
(45)
г(Ф - Ф+) ^ 0.
(46)
(Л) = tr А+р = tr А + р.
(47)
Более того, нас интересуют преобразования, явно зависящие от оператора
Лиувилля. Это и есть физическое обоснование теории. Мы ви-
150
Нобелевская лекция
дели, что в уравнениях типа уравнений Больцмана Ll-симметрия нарушается.
Мы хотим при помощи используемого нами преобразования получить именно эту
новую симметрию (20). Это можно сделать, лишь рассмотрев L-зависимые
преобразования A(L). Наконец, используя тот факт, что плотность р и
наблюдаемые величины описываются одними и теми же уравнениями движения,
но L заменяется на -L, получаем следующее основное условие:
в данном случае заменяющее обычное условие унитарности, налагаемое на
квантовомеханические преобразования.
Нет ничего удивительного в том, что мы действительно нашли закон
неунитарного преобразования. Унитарные преобразования - это не более чем
многократные подобные изменения координат системы, не изменяющие
физической сущности проблемы. Какова бы ни была система координат, в
которой система рассматривается, физическая сущность системы остается
неизменной. В данном случае, однако, мы имеем дело с проблемой совершенно
иного характера. Наша цель состоит в том, чтобы найти способ, позволяющий
перейти от описания системы на языке динамики к ее описанию на языке
термодинамики. Именно в этом и состоит причина того, что нам
потребовалось ввести резкие изменения в способы задания функций, что
нашло выражение в использовании нового закона преобразования (уравнение
(48)). Я назвал этот тип преобразования функций "звездноунитарным" и
предложил обозначить его следующим образом:
Я буду называть Л* "звездно-эрмитовым" оператором, связанным с оператором
L (знак звездочки всегда означает инверсию L -> -L). Из уравнения (48)
следует, что для звездно-унитарного преобразования обратное
преобразование равно сопряженному с ним звездному эрмитову оператору.
Рассмотрим теперь уравнение (42). Используя тот факт, что оператор L, так
же как операторы уравнений (48) и (49), являются эрмитовыми операторами,
получаем
A~1(L)=A+(-L),
(48)
A*(L) = A+(-L).
(49)
Ф* = Ф +(-?) = -Ф(?),
(50)
или
(гФ)* = гФ.
(51)
Время, структура и флуктуации
151
Наиболее интересным из подученных выше результатов является тот факт, что
оператор уравнения движения оказался звездным эрмитовым оператором.
Звездным эрмитовым оператором может быть либо оператор, четный
относительно i-инверсии (это означает, что когда L заменяют на -L, знак
оператора не изменяется), либо антиэрмитовый и нечетный (нечетность
означает, что при замене L на -L знак изменяется). Поэтому выражение для
обобщенного звездного эрмитова оператора имеет следующий вид:
г'Ф = (гФе) + (*Ф°). (52)
В этом уравнении верхние индексы е и 0 относятся соответственно к четной
и нечетной частям нового оператора временной эволюции Ф.
Условие диссипативности (уравнение (46)), означающее существование
функции Ляпунова П, теперь приобретает следующий вид:
г'Фе > 0. (53)
Это четная часть уравнения, отвечающая "производству энтропии". Подведем
итоги. Мы получили новую форму уравнения для систем, рассматриваемых на
микроскопическом уровне (подобного уравнению Лиувилля классической или
квантовой механики), имеющего в явной форме член, который можно
рассматривать как функцию Ляпунова. Иными словами, уравнение
= (фо + фе)р (54)
содержит обратимую часть Ф° и необратимую часть Фе. Симметрия этого
нового уравнения точно такая же, как и феноменологического кинетического
уравнения Больцмана, поскольку член этого уравнения, характеризующий
поток, относительно i-инверсии нечетен, а член, характеризующий
столкновения, - четен. Термодинамическое различие между обратимыми и
необратимыми процессами, описываемое на макроскопическом уровне, при
помощи этого уравнения можно описать на микроскопическом уровне. Отсюда
следует, что полученное нами уравнение можно рассматривать как до сих пор
отсутствовавшее звено, связывающее динамику обратимых процессов,
рассматриваемых на микроскопическом уровне, с термодинамикой необратимых
процессов, рассматриваемых на макроскопическом уровне. Сказанное выше
можно изобразить графически в виде следующей схемы:
152
Нобелевская лекция
Описание обратимых процессов на микроскопическом уровне
Описание необратимых процессов на макроско пическом уровне
?
Описание на микроскопическом уровне,выявляющее необратимые процессы
Неунитарное
преобразование
Операции
усреднения
