Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пригожин И. -> "Введение в термодинамику необратимых процессов" -> 43

Введение в термодинамику необратимых процессов - Пригожин И.

Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов — И.: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievtermodinamiku2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 50 >> Следующая

кинетики, тогда как вблизи точек бифуркации существенную роль играют
флуктуации, которые и определяют, какой из ветвей кривой будет далее
определяться поведение системы.
Я не имею возможности вдаваться сейчас в вопросы теории бифуркаций и ее
различные аспекты, например в теорию катастроф, разработанную Томом [10].
Эти вопросы обсуждены в недавно опубликованной монографии Николиса и
Пригожина [8]. Я не стану также перечислять примеры когерентных структур,
уже обнаруженных в химических и биологических системах. Много таких
структур описано в упоминавшейся выше монографии [8].
Закон больших чисел и статистическое рассмотрение химических реакций
Вернемся теперь к рассмотрению статистических аспектов образования
диссипативных структур. В основе традиционной химической
Решения
ции
Время, структура и флуктуации
139
кинетики лежит определение среднего числа столкновений и, в частности,
среднего числа столкновений, ведущих к химической реакции. Эти
столкновения являются случайными. Естественно, однако, задаться вопросом,
каким образом столь хаотическое поведение компонентов системы может
привести к возникновению в ней когерентных структур? Очевидно, что для
того, чтобы ответить на этот вопрос, необходимо ввести новые
представления. Не вдаваясь в детали, скажу, что рассмотрение таких систем
приводит к выводу, что в них нарушаются условия, при которых справедлив
закон больших чисел. А это означает, что распределение регулирующих друг
с другом частиц системы, находящейся вблизи состояния неустойчивости,
более не является случайным.
Что понимается под законом больших чисел? Чтобы ответить на этот вопрос,
рассмотрим типичный способ вероятностного описания системы, играющий
важную роль во многих областях науки и техники, - так называемое
распределение Пуассона. Это распределение рассматривает переменную
величину X, которая может принимать целочисленные значения X = 0, 1, 2, 3
... Согласно распределению Пуассона вероятность того, что случайная
величина принимает значение X, равна , ,х
рг(Х) = е-^){-^-, (20)
где (X) - это среднее значение X.
Показано, что этот закон выполняется в самых различных ситуациях.
Например, распределение времени телефонных разговоров, времени ожидания
принятия заказа в ресторанах, флуктуации частиц в среде с данной
концентрацией частиц - все эти величины подчиняются распределению
Пуассона. Важная особенность этого распределения - то обстоятельство, что
(X) - единственный параметр, входящий в уравнение, его выражающее.
Распределение вероятностей случайной величины полностью определяется ее
средним значением.
Из уравнения (20) легко получить выражение для так называемой "дисперсии"
- величины, характеризующей разброс величины X относительно ее среднего
значения:
((SXf) = ((X - (X)2)). (21)
Для распределения Пуассона характерно, что дисперсия величины X равна ее
среднему значению:
((SXf) = (X). (22)
140
Нобелевская лекция
Теперь рассмотрим ситуацию, при которой X является экстенсивной
величиной, пропорциональной числу частиц N (в данном объеме) или объему
V. В результате получаем, что относительная величина флуктуации
определяется следующим уравнением:
VWW) 1 1 1
;-;------:---- ~ или --. (23)
(¦X) ^Дх) y/v
Это и есть так называемый закон квадратного корня, согласно которому
величина относительной флуктуации некоторой величины обратно
пропорциональна квадратному корню из ее среднего значения. Следовательно,
если порядок величин экстенсивных переменных равен N, то величины их
относительных отклонений от среднего будут иметь порядок IV-1/2. Это
характерная особенность закона больших чисел. Именно поэтому, имея дело с
большими системами, мы можем пренебречь возникающими в них флуктуациями и
ограничиться их описанием на макроскопическом уровне.
В случае распределений других типов среднее квадратичное отклонение уже
не равно среднему значению, как это следует из уравнения (22). Тем не
менее в любых случаях, для которых закон больших чисел справедлив,
величина среднего квадратичного отклонения имеет тот же порядок. Поэтому
(SX2) , ч
при V -^ ос величина --- конечна. (24)
Рассмотрим теперь стохастическую модель химических реакций. Естественно
допустить - так часто поступали и в прошлом, - что
химическая реакция - это процесс типа "рождения и смерти", т. е.
процесс типа цепи Маркова [11]. Приняв это допущение, мы сразу получаем
основное уравнение, выражающее зависимость от времени вероятности Р(Х, t)
обнаружения в системе молекул вещества X в момент времени t:
l) = Y, W(X - r -+ X)P(X -r,t)~Y W{X X + r)P(X, t),
(25)
где W - вероятность перехода, соответствующего скачку от X - г молекул
вещества X к X таких молекул. Правая часть уравнения (15)
Время, структура и флуктуации
141
отражает конкуренцию между процессами образования и исчезновения молекул
X. Характерное отличие данной проблемы от классической проблемы
броуновского движения состоит в том, что вероятности переходов W(X - г ->
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 50 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed