Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пригожин И. -> "Введение в термодинамику необратимых процессов" -> 46

Введение в термодинамику необратимых процессов - Пригожин И.

Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов — И.: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievtermodinamiku2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 .. 50 >> Следующая

(34)
Время, структура и флуктуации
147
ввести в динамику только в том случае, если в дополнение к известным
законам динамики допустить справедливость приближения о "грубом зернении
системы" [19]. Мне всегда было трудно согласиться со справедливостью
этого заключения, в особенности вследствие конструктивной роли, играемой
необратимыми процессами. Могут ли диссипативные структуры быть
результатом ошибок?
Я полагаю, что, получив ответ на вопрос, почему, исходя из кинетического
уравнения Больцмана, можно вывести ^f-теорему, а исходя из уравнения
Лиувилля, - нет, мы сумеем понять, в каком направлении следует вести
работу, чтобы разрешить этот парадокс.
Очевидно, что уравнение Лиувилля (32) Ll-инвариантно. Действительно, если
знак оператора Лиувилля L изменить на обратный (в классической механике
это можно сделать путем инверсии скорости), а также изменить на обратный
знак 1, то уравнение Лиувилля не изменится. С другой стороны, легко можно
показать [18], что слагаемое в уравнении Больцмана, учитывающее
столкновения (правая часть в (29)), нарушает Ll-симметрию, так как оно
четно по L. Поэтому ранее поставленный вопрос имеет смысл перефразировать
следующим образом: как можно нарушить Ll-симметрию, свойственную
явлениям, служащим объектом изучения классической или квантовой механики?
Наша точка зрения на этот вопрос состоит в том, что динамическое и
термодинамическое описания систем в определенном смысле являются
"эквивалентными" описаниями эволюции системы, связанными друг с другом
неунитарным преобразованием. Разрешите мне вкратце показать, как мы можем
приступить к решению этой задачи. Метод, которым я буду пользоваться, был
разработан в тесном сотрудничестве с моими коллегами, работающими в
Брюсселе и Остине [20-22].
Теория неунитарных преобразований
Поскольку было доказано, что уравнение (34) не адекватно сформулированной
задаче, исходным пунктом нашей работы явилась функция Ляпунова в виде
(где М - положительный оператор), с невозрастающей производной по времени
= tr р+Мр ^ 0
(36)
dt
(37)
148
Нобелевская лекция
Конечно, это условие не всегда выполнимо. Для простых динамических
систем, движущихся согласно периодическому закону, ни при их
классическом, ни при квантовом рассмотрении функция Ляпунова существовать
не может, ибо такие системы через некоторое время возвращаются в исходное
состояние. Возможность существования оператора М определяется типом
спектра оператора Лиувилля. В рамках классической эргодической теории
этот вопрос недавно изучил Мисра [23]. Я постараюсь рассмотреть здесь
некоторые следствия возможности существования оператора М уравнения (36),
который можно рассматривать как энтропию систем, анализируемых на
микроскопическом уровне. Поскольку М - величина положительная, то
согласно общей теореме ее можно представить в виде произведения
оператора, скажем, Л-1 и сопряженного эрмитова оператора (Л-1)+ (эта
операция означает извлечение из положительного оператора квадратного
корня):
М = (Л"1)+Л"1. (38)
Подставляя уравнение (38) в уравнение (36), получаем
Я = tr р+р, (39)
где
р = А~1р. (40)
Этот результат весьма интересен, ибо уравнение (39) представляет собой
уравнение именно того типа, которое мы хотели бы получить. Однако мы
видим, что это уравнение существует лишь в форме, связанной с
предшествующим уравнением преобразованием (40).
Прежде всего запишем новые уравнения движения. Принимая во внимание
уравнение (40), получаем
if = Фй (41)
где
Ф = A^LA. (42)
Теперь используем решение уравнений движения (уравнение (32)). Заменим
уравнения (36) и (37) более явными неравенствами
fi(i) = tr р+ (0)eiLtMeiLtp(0) ^ 0, (43)
^ - tr р+ (0)eibti(ML - LM)eiLtp{0) ^ 0. (44)
Время, структура и флуктуации
149
Поэтому "микроскопический оператор энтропии" М может не коммутировать с
оператором L. Коммутатор и представляет собой ту величину, которая может
быть названа "микроскопическим производством энтропии".
Это, конечно, напоминает соотношение неопределенности Гейзенберга и
принцип дополнительности Бора. Наиболее интересным результатом оказался
тот факт, что здесь мы также обнаружили некоммута-тивность, но в данном
случае между динамикой в том виде, как она выражается оператором L, и
"термодинамикой" в том виде, как она выражается оператором М.
Следовательно, в данном случае мы имеем дело с новым и в высшей степени
интересным типом комплементар-ности между динамикой, требующей знания
траекторий или волновых функций, и термодинамикой, требующей
существования энтропии.
Преобразуя уравнение (44) в новую форму, получаем для производства
энтропии следующее выражение:
Отсюда следует, что разность между Ф и сопряженным эрмитовым оператором
Ф+ не обязательно равна нулю:
Таким образом, мы приходим к важному выводу: новый оператор движения,
появляющийся в преобразованном уравнении Лиувилля (уравнение (41)), более
не может быть эрмитовым оператором, в отличие от оператора L уравнения
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 .. 50 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed