Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
2 2
получим решение уравнения Лагранжа в виде
х = a cos со t -f- b siti tof (со2 = x/m).
Теперь определим постоянные интегрирования так, чтобы удовлетворить
условиям jc(^)=^2. Тогда
x(t) =---------------------[jCxSlno)(fa - t) + Jt2stue> (t - ?x)].
sin ш (fa - *i)
Следовательно,
& = f.T /1 [¦*1003 2o) V* " 0 + *1 COS 2ft) (t - tj) -
2 sin3 CD (tg - tj)
- 2ВД5 COS <B -Ma - 20].
Интегрируя, получим действие
r
S^\<edt^= -------------- [(*? + лф cos to (fa - /0 - 2* А].
J 2 sin со (<g - <i) 1 1 2
ft
При co->-0
5 _ m(*a - *0*
2(<"-/0 '
т. e. совпадает с действием свободной точки в отсутствие поля.
Уравнение Гамильтона - Якоби
369
9 20
+ (lh - ^i)2 ] + л (*i#2 - **&) j.
где <в =
mc
9 21 Ищем решение уравнения Гамильтона - Якоби
в виде
Тогда получим откуда следует
- + - (V-S)2 = о
dt ^ 2т
S = -E0t+W(r).
W~P0T,E0: Р"
2т
Таким образом, находим полный интеграл
С Р° 4- I
s=-&г'+|,"г-
Закон движения получим согласно теоремы Якоби
г г д_Л* t
- г0, Г - г0 -j г.
др т
9 22 Направим ось Oz вверх по вертикали Тогда функция Гамильтона точки в
декартовых координатах
я=~Ьг (Рх*+ р"+Рг^ + mgz'
а уравнение Гамильтона - Якоби имеет вид
as , 1
dt 2т
Все переменные в этом уравнении разделяются, т. е, его полный интеграл
S = - E0t + ах х + а2 у + W (г)
370
Уравнения Гамильтона
[Гл 9
при условии, что W (г) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному
уравнению
1
2т
Jaf + al + J + тё2 - Ео'
Последнее уравнение легко интегрируется и приводит к функции
W = П- (Е°~ mSz) - "1 - "2]3/2-
3 ttflg
Окончательно
S = - ?0Н- а 1 л: + а2 у----------------------i-- [2т (?" - mgz) - af -
al ]3/2.
3m2g
Отсюда на основании теоремы Якоби
ds = Х~{ №т (Ео - mSz) - а1 - аг]1/2 = Pi.
9ai mag
= У+ [2/га (?0 - mgz) - а? - а| ]1/2 = рв1'
5а2 /n2g
dS
_ f L_ [2m (?0 - mg-г) - а? - "1 ]1/2 = P3.
dE0 mg
Первые два из этих уравнений показывают, что траекторией частицы является
парабола, а третье уравнение представляет собой закон движения.
Далее найдем, что компоненты импульса рх, ру сохраняются,
т. е.
рх = dS/dx = c?j, ру = dS/dg =• <v, ^
найдем также компоненту рг, как функцию координат
pz = dSjdz = [2m (Е - mgz) - а? - ai ]1/2.
9 23. Введем декартовы координаты х, у на наклонной плоскости, ось у
направим по горизонтали. Тогда функция Лагранжа
а гамильтониан
3 =-¦ -у (х2 -f у2) + mgx sin a,
Я = -- (pl + pl) - mgx sin a.
lm
Теперь запишем уравнение Гамильтона - Якоби as , i
dt 2/я
( as
V dz
! OS у
' dtJ J
--mg:, ?in. a -0
Уравнения Гамильтона - Якоби
371
и найдем его полный интеграл
S = - EQt + PM + f {?),
где
/ (х) = j* (2тЕ0 - pi + 2m2gxsin a)1/2 dx]=
1 (2тЕ0 - ро + 2m*gx sin а)3/2,
3rrPg sin а
9,24. Записывая лагранжиан маятника
= т1*У2 + mgl cos ф
и его обобщенный импульс
ъ X /а • Рч> = = пгР ф,
аф
получим гамильтониан
Я = рфф - ,# = -l- pi - mglcosy 2ml*
и уравнение Гамильтона - Якоби
as , I / as \*
j2 - /га^/совф = 0.
а< 2т \ аф Далее найдем полный интеграл
S = -E0f + №M,
где
W7 (ф) = J (2ml2 (Eq + mgl cos ф)'/2^ф, и закон движения маятника
as
ЬЕ
или
- С (-**-Г *р =
2 J \ Е -f mgl cos ф /
9.25. Выберем вектор-потенциал магнитного поля в виде
А--Нупх
и запишем уравнение Гамильтона - Якоби (е=-е0)
Ч+(^У+Вг)'Н- <"
as . 1
& 2 т.
пт-Л2 . ! dS
дх с
372
Уравнения Гамильтона
1Гл. 9
Его полный интеграл имеет вид
S = - E0t + atx + + / (у).
Подставляя (2) в (lj, находим
f = j* ^ 2тЕ -- а| - у- Hyj1/2 dy.
Далее согласно теореме Якоби получим
dS
дЕ0
; t~t0 =
mdy
2тЕ0 - а| - (tti - Ну
1/2
Хл = •
dS
dai
as
" X Xq -
aj.
Ну dy
dat
г - z0
2mE0-a\ - Hyj
______________ аг dy _______
1/2
2tnEB - ar2 - f ai -
e0
Ну
1/2
Вычисляя интегралы (3), (4), найдем
"ц с р^с
У ~ еН {здесь (c) - ^
тс
еН slfl ш (* - *")
P±^V 2тЕо
a|
¦хп =
е^Н
PL
"I-
1/2
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Последнее уравнение является уравнением проекции траектории на плоскость
OXY
г~")чм
(х х0)2 + v еоН Из (6) и (7) также следует
Р\ С
X - Х0 = COS (0 (/ - /0).
Наконец, (3) и (5) приводят к закону движения вдоль напряженности поля
2 = 20 +
02
т
(t-Q.
ш
Уравнения Гамильтона - Якоби
373
9.26. Записывая вектор-потенциал в виде А = -^-рПф,
по-
лучим уравнение Гамильтона - Якоби в цилиндрических координатах
as 1
dt
2т
as у , м as
ар у \ р дф
pV +
as \*
2с j V дг
Затем найдем полный интеграл в виде
S = - ?о* + а1Ч> + °^г + Ж"
0.
где
/(Р)
-ЛЧ'
1
2т 2т Отсюда получим закон движения
(JSL \ Р
Яр
2с
1/2
ф.
as
а?0
*4
mdp
1/2
(1)
и уравнения орбиты
as
Фо
dai
, ф- Ф0 = +
е"Н 2с
Р Ф
2с
V
as
dot
^ 2т^о - "1-
Р___________а8ф_________
[2"?>-^-(х+'^"р)*]
1/2
(2)
(3)
Из (3) и (I) следует
2 =-2п
"2
а (2) является уравнением проекции траектории заряда на плоскость оху.
9.27. Выбирая потенциалы
А = - Ну пх, ср - - ? (/,
запишем уравнение Гамильтона - Якоби
as 1 г (as
dt
е0ф
374
Уравнения Гамильтона
(Гл 9
Его полный интеграл
S - - Egt + a1* + assz4- / (у),
где
f(y) "• J[2m(E° - e0gy) - a| - (с^-----------^-^j2j1/2dy.
