Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
р,=-^ч ачж-я.
% dQi
Отсюда
Л = 2а? (7х + 7,) ctg Qt + 2а? (^jl - ?2) ctg Q2; (1 >
р2 = 2а? (7i + 7,) ctg Qx - 2а? (qx - ?2) ctg Q2; (2)
<?*i = a? (7i + ЯгТ cosec2 Qi= & (qx - q%f cosec2 <?2; (3)
= -j- (p? + pi) + -b -|--j-(78 - 7i)3 + (4)
Соотношение (4) с помощью (1), (2) представим в виде
сП + Уъ = 4a? (qx + 7,)2 ctg2 Qt +
380
Уравнения Гамильтона
[Гл. 9
+ 4а| (<fr ~ I?2)2 etg2 Q2 + <7?-0i02 + 02, откуда, используя (3),
находим
Таким образом, имеем каноническое преобразование
1 т/^о-
Pi = ~ (0i + 0а) Ctg Qx -j-g - (?i - 0г) c*g Qa,
1 i/o"
Pa = - (01 + 0з) ctg Qx-- (0i - 0a) Ctg Q2,
^ e JL (9l + <72)2 cosec2 Qb = -i-1^3" (q± - qzf cosec2 Q2.
4 4
В переменных Q, уравнения Гамильтона имеют вид:
Qx 3=3 1" Qz = I/" 3 , t^i - 0, оИ'а = 0.
Следовательно,
== t + a, Q2 = 1/3 t + P; ^ = 62, <^2 = c2.
Поэтому
(01 -f 0a)a = 462Sin2 (f + a), (^ - q.2f = p~c2sin2 (l/3~f + p), т. e.
0i + 0a = ± 26 sin (t + a), 0i - 02 = ± I~- с sin (Vzj + P)' \V*
где a, p, 6, с - постоянные интегрирования.
Полученные функции означают, что собственные частоты системы
соответственно равны l/(2it), l/3/(2it), а главные координаты
соответственно пропорциональны 01 + 02 и qx-q2.
9.37. Преобразование, порождаемое заданной производящей функцией, имеет
вид
Д = 4!-Л + ._4?1Ь?1_,
dqi dqi
(1)
Qt =^- = 0i + 6-№^L.
d<Pt 41 ^ d&(
С точностью до членов первого порядка по е включительно оно эквивалентно
преобразованию
§ 3] Канонические преобразования. Вариационные принципы 381
6р( - J"! -
dqi '
(2)
6?i - =
Далее заметим, что изменение произвольной функции F(q, р)' при
преобразовании (1) определяется равенством
eF = r(Q,*')-F(q,p) = '?(-?-b,l+-^SP,)-
?
" JQ _= e {m,;
1 <iqt dpt dpt dqt j
i
в частности, 8Я=в[#/]. Поскольку f(q, р)-интеграл движения, т. е. [Я/]=0,
изменение 6Я = 0.
9.38. Производящая функция S(q, t) порождает канони-
ческое преобразование
dS г, dS /• , л \ /1\
Pi~ dqi ' Qi~~ д&с s)>
которое приводит к "новым" уравнениям Гамильтона
*•--Mb .....
Полагая Щ = 0, находим новые импульсы и координаты постоянными.
Следовательно, производящая функция удовлетворяет уравнению
dS , т, ( ds Л Л
-*- + "(*' w ')=0,
т. е. уравнению Гамильтона - Якоби. Более того, производящая функция S(q,
?*", 0 есть полный интеграл уравнения Гамильтона -
Якоби, поскольку якобиан с элементами--^- отличен от нуля. Соотношения
Qi0 - ¦ dS (t = 1,... , s) позволяют найти координаты
dJ^io
q, как функции времени и 2s констант Qi0 и oPio. Зависимость импульсов от
координат q и времени определяется функциями
dS ,,
382
Уравнения Гамильтона
{Гл. 9
9.39. Запишем уравнение Гамильтона - Якоби для осциллятора
as . 1 / as \а , m
(-fj+т"v = 0-
dt 2m
Полный интеграл этого уравнения
S(<7, a, 0 = mcoj (-^Г-
Примем постоянную а за новый импульс cf. Затем из уравнений
as Л as
р - -, I? = - а? ас?
найдем каноническое преобразование
"-"•"(-ilS-"*)•
(? = - - arccos q (¦ та Л1/2 - t, р2 + отсо2р2 == 2тсР. со V /
В переменных (?, новый гамильтониан = 0. Следовательно, <? = 0, & = 0, т.
е. Q = (3, сР = Е, где (3, ? -const.
Таким образом,
9.40. Используя изохронность вариаций, запишем принцип Гамильтона-
Остроградского в виде
и ?=1
если
(Q ~ ^Й1 (^i) = (r) (/ = 11 2,... s).
Интегрируя по частям члены, содержащие вариации скоростей, получим
§ 3]_________Канонические преобразования. Вариационные принципы
383
Из (1) и (2) ввиду условий на вариации координат в U и t\ найдем
и I
Отсюда, поскольку независимы, следуют уравнения Лагранжа.
9.41. Согласно интегральному вариационному принципу для систем с любыми
заданными силами и идеальными (голономными и линейными иеголономными)
связями
ц
j(6T + 6^)^ = 0, (1)
*0
2 (Р=1, 2,... k.2), (2)
7=1
причем 5q;(t0) -6qj(ti) = 0 (j - 1 sp, si~3N-kx)\ здесь N - число
материальных точек системы; k\ - число голономных связей; й2 - число
неголономных связей.
Используя выражение для виртуальной работы заданных сил
8Л = ? Q,bq!t
i=i
представим (1) в виде
?о / / /
Отсюда, интегрируя вторую сумму по частям и имея в виду обращение в нуль
вариаций координат при t0 и U, получим
<з>
и /=1
Теперь обратим внимание на то, что вариации координат подчинены согласно
(2) условиям
= О (Р = 1, 2, ... , ft.). (4)
/=¦1
384
Уравнения Гамильтона
[Гл. 9
Затем используем метод неопределенных множителей Лагранжа. Умножим каждое
из уравнений (4) на "свой" неопределенный множитель щ и проинтегрируем во
времени от t0 до fi. Результаты этой процедуры сложим с (3) и найдем
.Число вариаций координат равно Si из них зависимых k2, а независимых S]-
k2 (рассматриваем случай, когда 3N >ki+k2, т. е. Si>&2). Далее подберем
k2 множителей ир так, чтобы в (5) обратить в нуль коэффициенты при k2
зависимых вариациях. Тогда, чтобы удовлетворить (5), следует потребовать
равенства нулю остальных Si-k2 коэффициентов при si-k2 независимых
вариациях. Таким образом, из (5) найдем систему уравнений
которая совместно с (2) является системой sl+k2 уравнений относительно Si
