Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
-а= -В-(1 -oosaO- (Ю)
Y 1 -и2 1 _u2 2а V
Общий случай движения
349
Среднее ее значение
(ф ) = -t = -s!L (in
2(1 / зЧУ>
будет тем меньше, чем больше начальная скорость вращения волчка.
2. Прецессия без нутаций. Рассмотрим случай, когда щ = и2ф Ф± 1.
Полагая ц=0, "=0, получим систему уравнений
(1 - а2) (а - р") - (6 - аи)2 =- О, - 2и (а - Р") - Р (1 - и2) + 2а (Ь -
аи) = О,
из которой найдем
Ь - аи - - [о dt V<& ~2ра].
Учитывая (4), получим скорость прецессии
а
1ч=у
а*
Следовательно, должно выполняться неравенство а2>2ри или
2 w AJxtngl о
йз> -~'2~- cos е.
*^3
Это неравенство определяет область допустимых значений ф и 0. В случае
2ри<Са2
• _L = Jan, =
2а /3Ш3 Jicos0
Отсюда видно, что значение <pi соответствует медленной прецессии (11), а
угловая скорость <р2 быстрой прецессии не зависит от ускорения g
свободного падения (как в случае свободного волчка, Р = 0).
3. Случай и2=Цо=1, 0=0 при и=и0 Поскольку и0 - - = 1,
а
то Ь - а
/(") = (! - и2) (а - (}ц) - а2 (1 - и)2.
Затем из (3) находим, что а=р. Следовательно,
/(") = (1-и)2[Р(1-Ьи)-а2]. (12)
а*
Таким образом, точки поворота u\ = uz=\, и3 ---------------1.
350
Динамика твердого тела
[Гл. 8
При > 2 (Ц3>1) вытекает, что "=1, т. е. имеет место вра-Р
щение вокруг вертикальной оси (это - случай спящего волчка).
д2
Если же - < 2, то ы3<1- В этом случае волчок нутирует между 0 = 0 и 6 =
Оз. При этом существует критическая угловая скорость
2 4mgill а>з = ---5-
(определяемая условием а2 = 2р), начиная с которой волчок может вращаться
только в вертикальном положении.
Исследуем теперь условие устойчивости волчка при его вращении вокруг
вертикальной оси. Полагая м = 1-х, разложим правую часть (12) в ряд
Тейлора
/(И) =-**(<!"-20)+...
Таким образом, находим уравнение
х°--=~х*(а2 - 20)
из которого следует, что колебания по углу 0 вблизи вертикальной оси
вращения будут устойчивы при а2>2р.
8.42. Напишем уравнение кинетического момента относительно точки
закрепления
--М - [rm, mg], (1)
В отсутствие поля тяжести ось волчка нутирует вокруг постоянного вектора
М=М0 с угловой скоростью
Q
п h '
где /1 - момент инерции относительно оси, проходящей через точку
закрепления перпендикулярно оси симметрии волчка. Следую-, щее
приближение описывает медленное движение вектора М. Для определения
скорости этой прецессии усредним (1) по периоду нутации. При этом
(rOT) =-^(cosp, (2)
где I - расстояние от точки закрепления до центра масс волчка; Р - угол
между М и осью симметрии волчка.
Подставляя (2) в (1), находим
= C08p[gM]. (3)
dt М 1 w
Общий случай движения
351
Отсюда следует, что вектор М прецессирует с угловой скоростью
ml 0
Q = cos р • g
м
(этот результат сравните с формулой (11) задачи 8.41).
8.43. Обозначим реакцию поверхности, приложенную в точке касания шарика с
плоскостью, вектором R ц (здесь
RIIп = 0, Rj_ 1| п, а п-орт, перпендикулярный плоскости). Запишем далее
уравнение движения центра масс шарика
mr = mg-rRst + RL, (1)
при этом очевидно, что mg + Rj_=0. Обозначая затем R,, =R, запишем
уравнение кинетического момента шарика в виде
/Ц = - a[nR] (2)
(/- центральный момент инерции шарика; Q - его угловая скорость; а -
радиус шарика). Скорость точки касания шарика с плоскостью
[<*>г] r=r-r [Q, - ап], (3)
где o)==(i)n - угловая скорость вращения плоскости.
Дифференцируя (3) и учитывая (2) и (1), получим
¦ а3
г = асо[пг] 4- aJQn] = ото [nr] •+ - [n[nR]] =
г • 1 та2
= ао) [пг]--------г.
Следовательно,
/со
та2 - f J
Интегрируя (4), получим
/со
г = ---------
та2 J
г-~тМ. (4)
[пг]+с, (5)
где с - постоянный вектор, зависящий от выбора начальных условий г(0),
г(0). В частности, для однородного шарика
г = ~ " [пг] + с. (6)
Из (1), (2) и (4), (5) получим угловое ускорение шарика
та г •; таю r г таю *
а =--------- [пг] =-------------[п [пг]] = г, (7)
/ та2 + / та2 J
352
Динамика твердого тела
[Гл. 8
откуда видно, что Я направлено по горизонтали, т, е. вертикальная
компонента Я остается постоянной. Из (7) находим
Q - Яо г -(г- г0); Я0 = ЯU, та2 + J
Теперь найдем решение уравнения (4)
X = - щу, у = щх, (8)
где
Ja 2
(й, ---------- = - о.
та2 + / 7
Вводя комплексную координату u=x + iy, запишем систему (8)
в виде
и- t(otu = 0.
Следовательно,
и^А + В- . (9)
?"!
Учитывая начальные условия г(0)=го, г(0) = [о)Г0], т. е.
и (0) = г0&а, и (0) = шг0е1а,
найдем постоянные
А = г0ёа (1-------- \, В = гглюе*011.
\ "1 /
Из (9) получим
и - r0eta
1 _ Л \ _|_ iL gi",* Wl j (Й!
x = Reu - r0 cos a ¦ (1------ ) + r0 - cos ("ц/ + a),
\ % I "i
у -= Jmu = r0sina- (1 - j -b r" - sin(co^ -f a).
\ "i /
Таким образом, траекторией центра масс шарика является окружность с
центром в точке
/ 5 ^ 5
Общий случай движения
353
и радиусом ? = /¦" - - - г0. Угловая скорость вращения центра 01 2
2
масс шарика по этой окружности coi = -со не зависит от начальных условий.
8.44. При исследовании движения симметричных фигур (J\ - - h = J) удобно
воспользоваться следующим трехгранником (рис. 8.44, а, б). Орт п3
