Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
2 ^ sin 0 j \ Ji J2 )
Ръ sin ф cos ф ( ~-z Рз ct§ o'] (-----M +
\ sm6 / \ Jt Ja I
\
2 2 P2 / COS2 'Ф sin2 Ф \ _| Рз
+ T \~JT~
Отсюда найдем, что
дН_ _ •
dty 2 \ sin 0 Pi
) + it+U^ б' ^
1 ^ Pl p8ctg O^sin 2ф +
+ Рз -- Рз ctg 9 I cos 2ф •
' sin0 '
"2
- sin 2ф 2 Y
J_______________1_\ , dU_
Jx jJ *[>
r r / 1 1 \ i dU
- 0x0)2 ^1^2 ( : : ) H rr~.
\ Jx J% J Зф
Tait как величина -- представляет собой момент L\ внешней
дф
силы относительно оси 3, из соответствующего уравнения Гамильтона найдем
38Од (е/X 32) ^1^2 " -^3*
Два других уравнения Гамильтона получаются аналогично. Комбинируя их с
найденным уравнением, получим остальные уравнения Эйлера.
Канонические уравнения. Скобки Пуассона
363
9.5. Поскольку гамильтониан гармонического осциллятора
Н = + - хъ,
2т 2
из закона сохранения энергии Н~Е9 получим уравнение фазовой траектории
1.
2 тЕ, 2Е,1х
Таким образом, траекторией является эллипс с полуосями
а - ]/2Е0/к, b = V2тЕ0.
9.6. Если f - функция канонических переменных, то
где [/, Н] -скобка Пуассона. В частности, если f=pu то а мри fzsqi
получим
9.7. Полагая в определении скобок Пуассона
dg 8/ dg df '
dqi dpi dp( dqi t
= -3- *
t=l
g^tlk, получим
ta,n-t=-2L
¦" \ % 8% J AmI 8pf дрк
i =1 I=-1
При g=pk аналогично получим
{Pk. n = -
%
9.8. Покажем, что функция f=x-ptfm удовлетворяет условию
* +</,")- о.
13*
364
Уравнения Гамильтона
[Гл. 9
Действительно, для свободной частицы в отсутствие внешних сил Н-р2/2т и,
следовательно,
{{x - pt/m), pa/2m} = plm,
а, с другой стороны,
df/di = - р/т.
9.10. Согласно условию при преобразовании
г\ = г, + 8 (1=1,2,..., N).
Изменение гамильтониана
i=i
при любом бесконечно малом е. С другой стороны, для каждой декартовой
компоненты имеет место соотношение вида
Ef -Sk**-^
?=1 1
Запишем совокупность этих соотношений в краткой форме:
if-(r)
isszl
Сопоставляя (1) и (2), находим {Р, #} = 0, откуда следует, что
N
вектор Р =У Р( является интегралом движения.
i =-1
9.11. Поскольку
Я (ft ... ft... ft, Pi • • • ft) = Я (ft • ¦ ¦ ft + Sft • • • ft. Pi • •
¦ P*)>
^ = 0. dqi
Далее, полагая в соотношении
df
{ft/}
dqi '
fssH, находим
<PtH} = 0,
что и требовалось доказать.
Канонические уравнения Скобки Пуассона
365
9.12. Преобразование координат и импульсов, соответствующее повороту
системы на угол 6ф вокруг оси, параллельной вектору п, определяется
формулами
г,->г; = г,+ [ег.]
' ,J "=1 JV (1)
Pt-^Pi = Pi + [* Р(].
где $ = п б<р.
Теперь вычислим необходимую скобку Пуассона
N N
i-*l 1=1
<2>
i=i i=-i
С другой стороны, изменение гамильтониана при преобразовании
(1) равно
f=i {-1 "**=I
N N
+
+'S[p.f]=*S[^]- <3>
1=1 J 1=1
Поскольку ЬН=0 для любого е, из (3) и (2) вытекает, что {МЯ}=0.
Следовательно, кинетический момент является интегралом движения.
9.13. Поскольку
Mi =<Mi = W,Pk.
скобка Пуассона
{MlH} =* Ml. в 6 jwl _
v ' ' dxt dpi dpi dxi Uk 11 m
_P a v Ш.З. _ P Ш1 - Р , y.y 1 du
Ruk%ix, dr r -Silk m W,xt f dr
(здесь везде по повторяющимся в произведении индексам происходит
суммирование). Изменяя в сумме BahPkPi индексы получим
= eiklPiPk * RilkPkPl •
366
Уравнения Гамильтона
[Гл. 9
Следовательно, eukPkPi=0. Аналогично е*д*3Х(=0. Таким образом, {MiH} =0,
что и требовалось доказать.
9.14. Разложим функцию F(q, р) в ряд Тейлора в точке 4=^(0), р=р(0)
фазового пространства
t=0 21
j=0
-f" • • •
Поскольку
dF
dt
ttaF
Л8
я}-"№}//>•
Следовательно,
P(9, p) = F(0) + t{FH}io + ~{{FH)H)|0 + ..
m (?>лХг
Л"
Для осциллятора Я = --Ь
2wt 2
следовательно,
{Ях}
-Р
т
Таким образом, если .Р=х, то
х (/) = х0 +
Хв 1
m 2! 31 т
((r)о04
ft-±.+ Л
V 21 41 }
+
+
Ро
тюо
31
= х0 cos ш0? + -sin (c)о ?. та>о
Аналогично для р(0 найдем
Р (0 - Роcos "У - mco0x0 sin (c)" *.
9.15. Напишем гамильтониан системы осциллятор+поле излучения
Я ~ [р " ~7 А(г)Г + \ т+ Т2(Р^ + (r)^)*
Уравнение Гамильтона - Якоби
367
Здесь А (г) =^i7vAv(r). Поскольку осциллятор точечный, можно пре-
V
небречь зависимостью Av(f) от г и заменить А (г) на А(0). Тогда
канонические уравнения Гамильтона имеют вид
<?v = Pv, pv = -^-=-Av;
дН 1 / е л \ дН 9
й^^{Ру~^Ау)' ^0;
г = - (рг - - аЛ, рг = 0.
т \ с /
Из этой системы следует, что
qv + <Bv<7v = - (Р- - А^ Av;
тс \ с /
pv + соvpv = - (р-~ А) Av;
тс \ с /
Рх + "орх = ~ Ах; ру = рг = 0; < *
е
J \dt'2 - - тс j ^
JU
тс ' ' 1
о
(здесь допущено, что в момент времени t=0 pv(0) =рг(0) =0).
9.16. Используя выражение для энергии &-той моды
". = j(PS+'"
и гамильтониан молекулы, получим
н\ - V - -
dt * к ' 2al[dqK дрх дрк dqx )
= J] (Skx(r)lqk J] рАя - Pfefixft J] K^Av + fivSvx) j.
Следовательно,
dHk
dt
= (r)&P* " K/W* + BhPk) = - 5aP*-
368
Уравнения Гамильтона
1Гл 9
§ 2. Уравнение Гамильтона-Якоби
9.17. Согласно определению действия
S = jL(r, rj)dt~^^dt.
fi <"
Поскольку закон движения имеет вид
r(0 = -f
'i - '1
то
t
т (fa- r0* С $. m (ra ri)a
2 (U-W J 2 fe-fc '
9.18. Поскольку для одномерного гармонического осциллятора
тх* и*3 - - "
