Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
направим по оси симметрии тела, он обра-
Рис. 8.44
зует угол 0 с вертикалью, другой орт ri! направим по линии узлов в
горизонтальной плоскости. Он образует угол ср с выделенным горизонтальным
направлением; третий орт n2=[n3ni]. Угловую скорость этого трехгранника
обозначим через "о. Предположим, что тело вращается вокруг оси симметрии
с угловой скоростью ф. Пусть Q - полная угловая скорость тела. Поскольку
вращение трехгранника не связано с изменением угла ф, то, полагая ф = 0,
ф = 0 в эйлеровых выражениях для угловой скорости, найдем проекции
угловых скоростей ю и Q на указанные орты
сох = 0, со2 = qp sin 0, co3=-9cos0; (1)
Qj. - (r)l! ^2 " ~ Ф* (2)
Найдем теперь ускорение центра диска. Радиус-вектор точки касания гА =-
ап2. Поэтому скорость центра масс
v = a[Qn2]. (3)
Следовательно, ускорение центра масс
W = - + f"v] = a [Q' n2] + а [ш [Сп2]1 =
dt
= a[0'ns] + a?2(wns) - ап2(мй).
354
Динамика твердого тела
[Гл. 8
Отсюда получим проекции ускорения
- n3Q + (Qnj) (ton,) ¦= - ф + 20ср sin 0 - ф cos 0, (4)
а
- = (Qn2) (а>п2) - (mQ) = - 02 - фсоб 0 (ф cos 0 -}- ф), (5)
а
ш ..
-- = -г (Qn3) (wn,) - 0 + ф5{п 0 (fcos 0 + -ф). (6)
а
Далее найдем компоненты производной момента количества движения
~М= + м, = JА.
dt at
Mt = Ji^i 4 д - оп) - 7 (ft)j - (02<о3) •[ J(7)
М-2 " j2^2 ~Ь (ttlgfiji/1 - (OfQg/д) = J (ю2 -у OJgftlj) (O^QgJд, (8)
Mg - JgQg ]' .2 ~- j) Jg&g (9)
t d'Mi г d'Qt
здесь -----~-h----------. так как для рассматриваемого тела мо-
\ dt dt
менты инерции относительно осей П[ и п2 в любой момент времени равны).
Учитывая определения (1) и (2), из (4) - (9) и (5) получим уравнения
движения диска:
та{- ф + 20фЗк10 - фсов 0) = Rlt
- ma[02+ фcos0(фcos0 4-ф)] - R2 - mgslnQ, (10)
/ш[0 4 фsin 0(фcos0 -f- ф)] - Ra¦- tngcos0;
J (0 - Ф2 sin 0 cos 0) - J3ф sin 0 (ф cos 0 + ф) = - aR3>
J (ф sin 0 -f 2фб cos 0) - /30 (ф cos 0 - p ф) = 0, (11)
J3 (ф - ф cos 0 - ф0 sin 0) = aRt.
Исследуем теперь условия устойчивости движения диска.
Предположим, что
ф(0)="-0, 0(0) = 0, 6(0) = -?-,
а = ~ I л К 1.
Общий случай движения
355
И получим приближенно
-md^ = Ru (12)
О =" /?2 - tng, (13)
та(-х + фф) " /?3 " mgx] (14)
- JjX + J3q)ijJ - - аЯя; (15)
Jjtp + J3xty = О, (16)
J&-=aR i- (17)
Из (12) и (17) находим Ri~Q, ф = фо- Из (16) получим
Ф = _ААф0. (18)
•>1
Далее, из (14) и (15) найдем
- (та2 -j- J) х + (та2 -М3) фф - - tngax. (19)
Следовательно,
(та2 + J) х (та1 - ^з) фо-^- - tnga j х = 0. (20)
Таким образом, условием устойчивости движения диска является неравенство
: 2 ^ meaj
ф0 > -------:------•
(ma2-rJs)Js
Поскольку для диска J3 = ma%-, J - ¦ та , фо > -или ио >
2 4 Зд 3
8.45. Используя результаты задачи 8.44, находим уравнение малых колебаний
(та2 J) х ¦
(та2 -f Js) фо -- mga J
х = 0.
Учитывая, что J = J3 - ага2, получим
356
Динамика твердого тела
[Гл. 8
Отсюда ясно, что движение устойчиво, если
4
8.46. Полагая в уравнениях (10), (11) задачи 8.44
^ л : h
0 = -. ф =^= со, тЬ = со-,
2 а
получим
о ¦= Rai + Rn,
0 = - mg -f- + i?ba,
таю2 +
a
J 3C02 = CtRia - hRa 2"
a
0 = hRalt 0 = aRbl.
Полагая #ьз = 0, найдем
R<a -¦= °. Ras =
Яп2 = - J" - , Rbi - Oi Rh = mg+ J2-.
a a
8.47. Найдем момент сил, действующих на спутник произвольной формы.
L - - ут3 С-k' Г°+т;-dm, (1)
J I Го + I3
i*o - радиус-вектор, проведенный из центра Земли в центр масс спутника,
здесь р - радиус-вектор элемента dm спутника относительно
системы с началом в центре масс спутника, тэ - масса
Земли. Очевидно, jpmaxI'C'Q, поэтому
1 _ 1 Л Згрр \
1 Го + Р I3 >0 \ 4 / '
(l--^W (2)
'о *J ' г0 '
При интегрировании введем систему координат S', оси которой совпадают с
главными осями инерции спутника. В этих осях Го= =ro(cosah cos аг,
cosa3). Интегрируя (2), найдем
L - -jcos otj cos - /3) tv +
4
-j- cos ctj cos a3 (J3 - Jx) n.r + cos cos a2 - J2) пг>.]
Общий случай движения
357
Теперь совместим плоскость Оху с плоскостью орбиты. Введем также
трехгранник с началом в центре масс спутника и следующими ортами; орт пь
направленный вдоль оси узлов в плоскости орбиты, орт п3 по оси симметрии
спутника и орт п2=[пзП!]. Угловая скорость ш этого трехгранника
где й - абсолютная угловая скорость спутника, причем Й1 = со],
орта г"з). Направляющие косинусы, выраженные через эйлеровы углы,
соответственно равны
cos - - sin ф, cos а2 = - cos 0 cos ф, cos а3 - sin 0 cos ф.
Полученные выражения позволяют использовать уравнения Эйлера
Рассмотрим частный случай, когда ось симметрии спутника почти лежит в
плоскости орбиты 0 = зх/2-х, x-Cl, а угол между осью симметрии и
радиусом-вектором г0 центра масс весьма мал (<р<1). Тогда
м == 0 П! + (ф + <о0) sin 0 n2 Hr (ф + со0) cos 0 п3,
где со0 = угловая скорость вращения центра масс
вокруг Земли. Момент количества движения
з
i=i
Пг = со2, й3 = юз + ^ (тр - угловая скорость вращения тела вокруг
J ? (СО! С03СОг) -f /3(Й2 й8 - Li,
J1 ((r)2 ~Г (r)3м1) (ЩЙд Тз = 12,
J 3 Q3 = L3.
(1)
(2)
(3)
COi - - X, С02 --= ф + (О0, со3 - СО0 X,
