Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
9.28. Решение уравнения Гамильтона - Якоби
dS 1 ( ds e A* n
j -----------------------------------acos и Я =0
dt 2m \ dr с j
ищем в виде
S = "г -f Sx(0.
Для функции St (t) получим уравнение
~aSl ¦ И -(a - a cos a>t =0,
dt 1 2m ^ с }
откуда
Si (О - J -- acosco/^cK.
Итак,
S = a r - С (ас - асоэюЛ2*#.
2ffl J \ с J
Отсюда найдем закон движения в виде
т. е.
г - г0 Ч------ (at------ a sin соЛ .
т \ тс )
9 29. Введем движущуюся вместе с плоскостью систему координат: ось Оу
направим вниз по оси вращения, а ось Ох - вдоль
плоскости. Далее обозначим через х и у координаты центра масс
стержня на вращающейся вертикальной плоскости, через 0 - угол наклона
стержня к горизонтальной плоскости, а через J - главный центральный
момент инерции стержня. Тогда получим лагранжиан стержня
L = ( х* + ф + -1- 02 Н-- со2 cos2 0 + osV'j + mgy.
2 \ tti tri )
Отсюда найдем обобщенные импульсы
рх = тх, ру = ту, pq = JQ
Уравнение Гамильтона - Якоби
375
и гамильтониан стержня 1
Н =
2т
"2 , _2 . Рв
p*+Py + ~Jfm j
т ш2
cos2 0 + л2 j - mgy.
Таким образом, получим уравнение Гамильтона - Якоби
Ш]-
dS , 1
dt
2т
dS У , { dS У
irj +( дГ
т
J
J ш2 ,,,
COS2 0
2
т со2 х2
¦mgy = О,
которое перепишем в виде as
о dS I
2т \-
dt
+
дх
т
¦ rn2 т2 Л'2
Г
as
2 m2gy
+
Jm со2 cos2 0
= 0
т / as у / \ ае j
Ввиду того, что переменные разделяются
S = - H0t + Wj, {*) + w% (у) + ws (0), где wlt w2, w3 удовлетворяют
уравнениям
(-^-)2 - m2 со2*2 = 2а!, -2m2 gy = 2а2,
- 2тНй + 2ах + 2аа + 2 _ Jm <о2 cos2 0=0.
0 1 2 J \ d 9 /
Следовательно,
S = - ^ ]/m2 ю2 х2 -f- 2ах с/х + j* ]/2m2 gy -¦}- 2а2 dy
+ j* VJm ю2 cos2 0 + 2тЯ0 - 2ад - 2а2 d0.
Далее согласно теореме Якоби получим
dx
У т2 ы2х2 + 2а
Г dy
J у 2m?gy 2а2
dQ
У Jm со2 cos2 0 -)- 2 тНа - 2ai - 2аа dO
У Jm ш2 cos3 0 4- 2тНв - 2ai - 2а2
= Pl.
376
Уравнения Гамильтона
{Гл. 9
Отсюда
f
f
у 2m2gy -f- 2as
У m2 т2х2 + 2сц
mdy______________
m dx
- t - t<j~h M Рг"
т. e.
- l/"2ma^y + 2a2 = t - + m p2.
Из последних двух выражений видно, что закон движения центра масс стержня
может быть представлен в виде (при соответствующих переобозначениях
постоянных)
Что касается интеграла /(0), определяющего закон вращения стержня
относительно центра масс, то он сводится к эллиптическому интегралу 1-го
рода.
9.30. Возьмем производную по координате х, от левой части уравнения
Гамильтона -Якоби
Пусть S(r, a, t)-полный интеграл этого уравнения. Учитывая, что импульс,
определенный соотношением
х = Ае(r)* + Ве~ш,
y^-LgP + Ct + D.
dt 2т
(v*S - "А) +е<р = 0.
Pt = Vi 5- - At,
С
является функцией координат, найдем
+ {v* (р,- + ~ 4) -е~ У/А} Рк + *Ъ Ф = о"
Канонические преобразования. Вариационные принципы
377
Полученное уравнение совпадает с уравнением
р = <?Е + -[vHj,
С
поскольку
е = -L J?__evq>, H = [VAJ.
с dt
§ 3. Канонические преобразования. Интегральные вариационные принципы
9.31. Запишем необходимое и достаточное условие каноничности
преобразования гамилыоиовых переменных в виде
? (e^ 6Q, - ШЩ - ? (Р, в7( - я ") = -604(7,(2,0.
i=i i-i
Полагая здесь
получим
¦" J] QiQi>
i=1
& = Н+-^ = Н, dt
_ dOt _ Q дФ! ____
Pi- , - Чо & i - - 7с
oQt
Рассмотренное преобразование по существу превращает "старые" импульсы в
"новые" координаты, а "старые" координаты в "новые" импульсы.
9.32. Записывая основное условие каноничности преобразования
гамильтоновых переменных в виде
? SQi - Ш 60 - ? (Р1б7,-Яв0 = -6Ф1(7,<2,0
г=1 i=i
и совершая здесь преобразование Лежандра к функции
S
Ф2 = + Л
/=i
получим условие каноничности в переменных
6Ф* - S Pi 8qt + 2 Q? б - (Я - S?) 6f.
378
Уравнения Гамильтона
{Гл. 9
Таким образом, для производящей функции Ф2 = 2 q{ ^>i получим
Ж' = я + -^- = н.
dt
9.33. Запишем условие каноничности преобразования переменных в виде
6Ф1(?,<3,0= ? №-эпы,
i=i
откуда следует
р/в_?(r)ц - $? = //+
' dqi 1 dQj dt
Таким образом,
<=i г*1 г
Правая часть этого равенства является полным дифференциалом, так как
d / 3 Ф> \ d /ЗФ
dQt \ dqj } dqj V 3Qi
9.34. Поскольку
3q 3 с?5 dt
находим
р=ё>-\-Ы, Q=q- at,
т. е.
tf - p - bt, Q = q - at ("преобразование Галилея" в фазовом
пространстве). Затем
Ж ~Н ArbQ - aZP -f abt,
3 сЯ d<?> dQ dQ
9.35. В рассматриваемом случае уравнение
Р = - maq etg Q (1)
dq
§ 3]___________Канонические преобразования, Вариационные принципы
379
позволяет найти Q = Q(q, р), а функция
-------_ х-тщ* ------------------------------------------- (2)
dQ 2 sin* Q ' '
определяет зависимость вида 3* =* <P(Q, q). Из (1), (2) находим
2^ \ i/2 ^ Q( р - (2т и #))1/2 cos Q. -(3)
та
Затем получим новый гамильтониан
т'^т + ^р- =to^ + -^-c^sln2Q (4>
и уравнения Гамильтона в новых переменных
<5>
¦"* = --% "• (6)
В случае а = 0 найдем решение (5), (6):
Q = a* -f а; оР = С.
Из (4) получим С = Е/а, где Я - полная энергия. Наконец, из (3) определим
закон движения:
?=(i5Tsin("*+a>-
9.36. Так как производящая функция содержит только старые и новые
координаты, то
