Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
несколько большему значе-нию потенциала ф2 = ф3 + Дф. Пусть вектор ММ' =
\ММ' | п направлен вдоль нормали к ММ в сторону возрастания
Ф, а вектор MN' = | MN' \ I-вдоль произвольного на-
-^ ^
правления (где п и / -единичные векторы, направленные соответственно
вдоль ММ' и MN').
Из рисунков 3 и За ясно, что производные от ф по
направлениям п и / соответственно равны:
дп мм' dl MN1-
где пределы берутся при условии, что М'N' неограниченно приближается к
MN, т. е. | ММ' |->-0 и|МЛГ|->-0.
Так как при приближении M'N' к MN треугольник MM'N' можно считать
прямоугольным, то |МЛ1'|=
= |MN'|cos (/, п), и мы приходим к соотношению
Ж==ЖС03(^)- (2)
Отсюда следует, что в любой точке поля производная по нормали к линии
уровня больше производной по. любому
другому направлению. Зная производную ^L, можно по
формуле (2) вычислить производную по произвольному направлению /,
проходящему через рассматриваемую точку.
Поскольку производная функции ф = ф (х, у) по нормали к эквипотенциальной
линии играет особую роль для дифференциальной характеристики скалярного
поля, то оказалось полезным ввести понятие градиента.
Градиентом скалярного поля ф (х, у) в данной точке М
-^
называется вектор, направленный по нормали п к проходящей через точку М
линии уровня (в сторону возра-
9
стания ср) и численно равный производной от ср по этому направлению:
gradq> = Vtp = !?n. (3)
Из (2) и (3) следует, что производная по любому направлению равна
проекции градиента на это направление:
В частности, производные вдоль осей координат равны:
Читая равенства (5) справа налево, можно градиент определить по-иному.
Градиентом скалярной функции ср (лг, у) называется вектор, у которого
проекции на оси координат равны соответственно частным производным от ср
по х и у:
Отсюда вытекает следующее выражение для абсолютного значения градиента,
т, е. длины вектора Уф:
Наконец, исходя из равенства (4) можно дать еще одно определение
градиента.
Градиент скалярного поля ср (лг, у) в произвольной точке - это вектор,
направленный в сторону быстрейшего возрастания функции в окрестности
точки, равный производной от функции ф по этому направлению.
Из всего сказанного следует, что построенный в некоторой точке скалярного
поля вектор Уф полностью характеризует аналитические свойства функции "р
(х, у) в окрестности этой точки. Таким образом, для аналитической
характеристики всего скалярного поля необходимо знать векторы Тф во всех
точках этого поля, иными словами, нужно знать векторное поле градиента.
-^
Если каждой точке г (лг, у) некоторой части плоскости
сопоставляется определенная векторная величина а, то
-> -> ->
говорят, что задано векторное поле а (г) или а(х, у).
~ = grad^ ф.
(4)
(6)
|gradfl = |y9|= (7)
10
Векторные поля графически изображают направленными отрезками, нанесенными
в точках, отстоящих друг от друга на равных расстояниях.
-У
Заметим, что поскольку вектор а на плоскости определяется двумя
скалярными проекциями ах и ау, то задание векторного поля а (х, у)
эквивалентно заданию двух скалярных полей ах(х, у) и ау(х, у). В
результате мы приходим к заключению, что дифференциальной характеристикой
("производной") скалярного поля <р (х, у), заданного в некоторой области
плоскости, является векторное поле grad ф (х, у), определенное в той же
области.
Рассмотрим несколько примеров.
1. Задано скалярное поле ф = (х2 + У2)"1^ = 1/г. Определить векторное
поле градиента.
Воспользуемся для этой цели формулой (6). Так как
х д<р __ у
(х2 + у2)3/2 И (х2 + у2)3/2 '
grad ф = -,
где г = xi + yj.
Выясним смысл полученного решения. Легко видеть, что эквипотенциальные
линии рассматриваемого скалярного поля удовлетворяют уравнению типа х2 +
у2 = const, т. е. представляют собой окружности с центром в начале
координат.
Поскольку по условию ф зависит только от расстояния г, то в пространстве
трех измерений эта функция геометрически изобразится поверхностью
вращения. Сечением этой поверхности плоскостью у = 0 будет линия Ф = 1
/х, представляющая собой равнобочную гиперболу, асимптотами которой
являются оси х и ср.
Следовательно, поверхность ф (лг, у) есть гиперболоид вращения (рис. 4,
а). Ясно, что в любой точке плоскбсти XOY направление быстрейшего
возрастания высоты поверхности ф совпадает с направлением к центру. При
этом, как ясно из вида этой поверхности, крутизна подъема ср при
приближении к центру возрастает все быстрее. Это соответствует тому, что
длина вектора Уф вдоль направления к началу координат возрастает обратно
пропог,-
Йф
дх
то
11
а 5
Рис. 4
ционально квадрату радиус-вектора точки:
|V<p|=|2.
Графическое изображение векторного поля grad <р приведено на рис. 4,6.
Теперь рекомендуем читателю самостоятельно решить и проанализировать
примеры 2 и 3.
2. Определить и графически изобразить векторные поля гради-
ентов скалярных функций: а) ф = *2+#2" б) (р = (с, г) (с-постоян-ный
вектор).
Рис. 5
12
-> ->
Ответ: a) grad ф = 2г, б) 0^ф = с.
