Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
рода занимается вторая часть математической физики-теория
дифференциальных уравнений в частных производных.
Совокупность теории поля и теории дифференциальных уравнений в частных
производных образует так называемую классическую математическую физику.
Однако за последние несколько десятков лет в связи с успехами теории
относительности и открытием качественно новых, квантовых свойств у
микрочастиц (молекул, атомов, ядер, электронов и т. п.) задачи
математической физики значительно расширились: появилась необходимость в
изучении полей комплексных величин в комплексном пространстве, в
использовании для их исследования не только методов математического
анализа, но и сравнительно новой математической науки-линейной алгебры,
являющейся своеобразным сочетанием алгебраической теории систем уравнений
первой степени и аналитической геометрии м-мерных плоских пространств.
Этим вопросам посвящена третья часть предлагаемого пособия.
Часть первая
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Глава !.
СКАЛЯРНЫЕ, ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ
Чтобы максимально облегчить изучение математической теории поля, мы в
этой главе ограничимся рассмотрением простейших стационарных полей на
плоскости и будем пользоваться только прямоугольными декартовыми
координатами.
§ 1. Скалярное поле и векторное поле его градиента
Скалярным полем называется область плоскости, каждой точке которой
сопоставляется некоторое значение скалярной величины (р.
Так как произвольная точка на плоскости характеризуется координатами х, у
или радиус-вектором г, то аналитически любое скалярное поле может быть
задано либо
в виде функции координат ф = ф (х, у), либо в функции
->
радиус-вектора ф = ф(г). Геометрически двумерное скалярное поле ф = ф (х,
у) можно рассматривать как некоторую поверхность в пространстве трех
измерений, где всякой точке (х, у) плоскости соответствует своя высота
г=ф(х, у) (рис. 2).
6
Как известно из дифференциального исчисления, важнейшей аналитической
характеристикой функции одной
переменной S - f (t) является ее производная , определяющая быстроту
изменения зависимой переменной S с изменением аргумента t. Какая же
величина играет роль производной в случае скалярного поля ср = ср (х, у)?
Пусть ср (х, у) является в заданной области непрерывной, однозначной и
дифференцируемой функцией координат х и у. Чтобы дать количественную
характеристику быстроты изменения скалярной величины ср в окрестности
произвольной точки М поля, введем понятие производной по данному
направлению.
Производной скалярного поля ср = ср (х, у) по некоторому направлению I
называется предел отношения приращения зависимой переменной в этом
направлении к перемещению, когда последнее стремится к нулю:
1=Пщ^, (1)
Д/->-0 m
где ср0 и ср2-значения скалярной функции ср соответственно в
рассматриваемой точке М и соседней точке М', отстоящей от М. на
расстоянии АI вдоль выбранного направления t (см. рис. 2).
Очевидно, что величина зависит от выбора направления I. И поскольку через
точку на плоскости можно провести бесчисленное множество различных
направлений, то может показаться, что для дифференциальной характеристики
скалярного поля необходимо задать в каждой
точке (лг, у) бесконечное количество производных ~ по
всевозможным направлениям, проходящим через эту точку.
Оказывается, однако, что вследствие непрерывности и однозначности функции
<р = ф (лг, у) для определения скорости ее изменения вдоль произвольного
направления I достаточно знать только две производные по двум взаимно
перпендикулярным направлениям, скажем ^ и . Чтобы
в этом убедиться, введем представление об эквипотенциальных линиях (линии
уровня), представляющих собой геометрическое место точек, которым
соответствует одно и то же значение скалярной величины ф. Ясно, что
уравнение эквипотенциальной линии имеет вид ф (х, у)= ср,- = =const.
Меняя значение постоянной ф;, получим семей-
7
Рис. За
1
ство линий уровня. Следует иметь в виду, что при геометрической
интерпретации поля все эти линии лежат не на поверхности z = q> (х, у), а
на плоскости XOY, каждая из них представляет собой множество точек,
которым соответствуют равные высоты z (рис. 3). У температурного поля
линии уровня представляют собой изотермы, у электростатического поля-это
линии разного потенциала.
Если на плоскости изобразить эквипотенциальные линии, соответствующие
значениям скалярной функции q> = = Фх. Ф8. Для которых ф*+1 - cpft =
const (рис. 3),
то по виду семейства этих линий можно будет качественно
8
нудить о быстроте изменения поля в любой точке по любому Направлению: где
гуще расположены линии уровня, там скалярная величина ф изменяется
быстрее. Однако для количественной характеристики поля этого
недостаточно.
Пусть нас интересует скорость изменения скалярной Величины ф в
окрестности точки М, в которой ф = фа (рис. За). Проведем через М
эквипотенциальную линию
MN. Кроме того, построим близкую к MN линию уровня M'N', соответствующую
