Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.
Скачать (прямая ссылка):
в том случае, когда поле излучения изменяется за время анализа, как это имеет место, например, при регистрации кратковременной вспышки света.
Коэффициент пропускания растра в рассматриваемой точке равен тр (z, /), т. е. он зависит от пространственной координаты г и времени t (зависимость от времени определяется в этом случае движением растра). Величина коэффициента пропускания, называемого функцией растра, может быть представлена рядом Фурье, так как действие растра всегда периодично.
Поток излучения, прошедший через растр в пределах площади диафрагмы поля о, равен
Ф(/)= j тр(г, t)E(z, t)do,
(а)
где Е (z, i) — освещенность диафрагмы а; тр (г, t) — коэффициент пропускания растра в точке с обобщенной координатой г; do — элемент площади диафрагмы а.
Преобразуем уравнение для Ф (t) к виду
ф (0 = j тр (г, t) (г) Е0 (t) da = Е0 (t) J тр (г, i) тф (z) do,
(а) (а)
т. е. предположим, что диафрагма поля а освещена падающим потоком равномерно, так что Е0 (/) = const, но в плоскости диафрагмы установлен фильтр, коэффициент пропускания которого тф (г) зависит от пространственных координат рассматриваемой точки.
Если обозначить
т (*) = 4" 1 тр ТФ ^ d(y•
(а)
Дп
?
Рис. 170. Оптическая система с растровым анализатором
180
то модулированный поток излучения
ф(0 = E0(t) OT(t) = Ф
где Ф0 (0 — поток излучения, падающий на диафрагму и растр; т — интегральный коэффициент пропускания диафрагмы и растра.
Интегральный коэффициент пропускания может быть представлен в виде бесконечной суммы синусов и косинусов
где /0 — основная частота модулированного растром потока излучения; Т — период модулированного растром потока излучения, определяемый пространственным периодом повторения рисунка растра.
Еслит(^)—четная функция, т. е. законы открытия и закрытия потока излучения одинаковы и начало отсчета времени выбрано в середине периода рисунка растра, то Вк = 0 и
со
т (t) = 0,5Ло -{- 2 (Akcosku0t -{- Bksiu коУ).
Здесь
+ 772
— Т/2 +772
— Т/2
+772
— Т/2
со0 = 2л/0 = 2л/7\
со
т (/) •= 0,5Ло -J- j4/ecos kio0t\
k=\
так как
cos ko)0/ = 0,5 (е'7г“о< -J- e~ikMot)',
то
т (/) = 0,5Ло -}- 0,5 Ли -f- е~/*“«*).
Спектр модулированного потока излучения можно вычислить с помощью прямого преобразования Фурье
Ф{/)= j Ф(/)е-/2dt = \ Ф0 {t) т (0 е-/2л^ d/.
-----ОО -оо
181
Следовательно, подставляя значение Ф (t) = Ф0 (t) т (/) найдем
-(-оо со
ф (/) = j ф0(^) 0,5А0 + 0,5 2 -I-e-ik2nf0t)
k=i
+с
X
X e ~i2nfl dt — 0,5Л0 j Ф0(/) e~i2nft dt -f-
— со
CO "* -{-Co -J-OQ
+ 0,5 Yi Ak J Ф0 (t) е~/2я * dt + j Ф0 (0 е-/2л </+*M * dt
k=i
Входящие в полученное выражение интегралы, представляют собой спектры исходного потока излучения (немодулированного сигнала), расположенные симметрично относительно нулевой частоты и относительно частот, сдвинутых на величины, кратные частоте модуляции:
—j— 00
% (/)= j O0(l)e-M'dt;
--СО
—со
ф0(f-kf0)= | Ф0 {t)e-i^U-kfo)i dt\
— оо оо
Ф0(//г/о) — J Ф0(t) ъ~]2п {l+kfo) * dt.
Следовательно,
оо
ф(/) - о,5Л0ф0{[) + 0,5^4[Ф (f - ад + ф (f + ад].
k=i
Вид спектра модулированного потока излучения представлен на рис. 171.
Спектр сигнала Ф о (f) может занимать полосу частот, большую, чем /У2, тогда будет иметь место наложение кривых, представленных на рис. 171, и полный спектр получится суммированием этих перекрывающихся кривых.
ф0 (f) может быть комплексной функцией, что означает наличие сдвигов составляющих спектр колебаний по фазе. Это имеет
место, например, когда коэффициент пропускания растра не выражается четной функцией
со
т (t) -¦= 0,5Ло S {А/г cos kw0t -j- Bk sin koу).
k=i
Так как
—|— oo -j-co
Ф (f)=J Ф(0е-^ dt = J Ф0 (t)x(t) dt,
--CO —CO
то можно найти
со
Ф (f) = 0,5ЛоФо (f) + 0,5 Е (Ak - jBk) Ф0 (f - kf„) +
&=1
+ (Ak + jB/i) Ф0 (f + Ar/o).
В этом случае суммирование вещественных и мнимых составляющих должно производиться раздельно.
Рассмотрим значение отрицательных частот в спектре. Гармоническое колебание, определяемое действительной функцией
S (t) = A cos (fif — -ф),
может быть представлено в виде суммы проекций на горизонтальную ось (рис. 172) двух векторов с амплитудами 0,5Л, вращающихся с угловой частотой Q в противоположных направлениях. Следовательно,
S(t) = 0,5 Ле+/ + 0,5Ле-/ =
= 0,5Л [е/ + е/
В полученном выражении второе слагаемое можно трактовать как колебание с «отрицательной» частотой Q_ = —fi+ и фазой
^ —1Ф+-
Гармонической составляющей с какой-либо физической частотой Q соответствует пара слагаемых, одно из которых содержит отрицательную частоту
5 (t) = 0,5Л [cos (Q+t — ijj+) + j sin (Q+t — ф+)] +
+ 0,5Л [cos (Q _t — -ф_) + / sin (Q J — -ф_)] =
= 0,5Л [cos (Q+t — -ф+) 4- /' sin (Q+t — ф+)] +
+ 0,5Л [cos (— Q+t -f \ji+) j sin (— QJ + ф+)] = Л cos (Qt — -ф).
183
Таким образом, при использовании удобного для анализа выражения, включающего отрицательные частоты, всегда можно освободиться от них путем перехода в этом выражении к тригонометрической форме.
При косинусоидальной модуляции потока излучения, когда коэффициент пропускания растра (идеального гармонического модулятора) определяется выражением (рис. 173, б)
