Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.
Скачать (прямая ссылка):
с1Ф (v) = Ac cos apv dv,
472
а в полусферу
Так как
'[>2X1 (V) = А(\ dv j cos a dQ.
2л
dQ = sin a da dcp,
2я Я/2 Я/2
| cosadQ = | J cos a sin a da dy = 2n J cos a sin a da = я,
о о
TO
Ф2я (v) - (c!4) Лр„ dv.
dfi=sincc dcc dy
/ ^ \ \ V'
Рис. 324. К расчету связи между объемной и поверхностной плотностями излучения: а — излучение из объема V через отверстие А; б — геометрия излучения с поверхности А
Спектральная поверхностная плотность потока, излучаемого в полусферу — спектральная энергетическая светимость Rv, Вт-см"2 - Гц"1 — равна
р „ Ф>я (у) с
Av A dy _ 4 f v’
т. е.
D 2л/г\-3 -------- ТГ2
Jixi(kT)
— 1
Следовательно,
дЕ
А Е2 = kT2^ = kT2
,2 д Г 8к/г\3 dv
дТ
дТ
;3 ehv/(kT)
-]
8ji/i2v4
Jivl(kT)
Cs (ehv/(kT) __ j)
it dv.
473
Так как
тг , 8яЛv3 1 ,
Е — pvdv — ^3 ^hv/(kT) _ j ^v*
то
Д?2 = ~Ehvehvttk7">/(ehv/Vi7"> — 1).
С другой стороны, поскольку
ehv/(fe7)/(e/iv/(fe7) _ J^2 __ l/(ehv/(fe7) — 1) -f- l/(e/lv/(^7') — l)2,
то можно также записать
ДЯ2 = Ehv [1 + 1/^ПкТ) _ j)].
Применим формулу Эйнштейна—Фаулера для вычисления дисперсии флуктуаций спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела, которая в соответствии с законом Планка равна:
Q _ 2nh\3 1 р 2nhc2 1
ehv/(kT) __ j » ~дб ehc/akT) __ j ’
где частота оптического излучения v выражена в герцах, длина волны А, -в сантиметрах, — в Вт-см 2Тц-1, —
в Вт-см"2-см"1.
Пользуясь формулой Эйнштейна Фаулера, найдем
Д#| = (Rv - Rvf = (2nftV/c2)® (v),
Atff = (Яя ~/?я)2 = (2яЛ2с3Дб) 0 (Я),
где
Ф (v) = ^цкТ)1^цкТ) _
д) (X,) = ehc/(Mn)j(thc/akT) _ 1)
ARl выражена в Вт2-с см_2-Гц_1, ARi— в Вт2-с см~2-см А.
Полученные величины дисперсии флуктуаций спектральной плотности представляют собой средние квадраты отклонения от среднего значения энергии, излучаемой в единичном спектральном интервале (1 Гц или 1 см), единичной площадью источника (1 см2) в единицу времени (1 с) в полусферу (2л).
Установим связь между этими величинами и спектральной плотностью мощности фотонного шума, т. е. величиной дисперсии, приходящейся на единичный интервал частот электрических сигналов.
Предположим, что за время Т, достаточно большое по сравнению с длительностью излучения фотона, излучается в единичном спектральном интервале Nv (или Nx) фотонов. В этом случае
474
суммарный поток излучения в момент времени t можно представить в виде
N
<М0= S (<-**).
к—\
где Фх (t — ik) — поток, определяемый излучением одного фотона, в момент времени tk.
Случайные моменты времени излучения фотонов будем пока считать равновероятными в интервале О, Т.
Определим среднее значение потока излучения
т т k==Nv
ФЛ0 = Нттг [фУ(*)Л = Пт4-J ? ф1 (t-h)dt.
т~>со О 74 00 0 k=\
Учитывая, что независимо от момента вылета фотона
т
\ Фг (t — tk) dt == hv, найдем
Фх (t) = Ф0 = hvNv, где Nv= lim(Nv/T) представляет собой среднее за единицу времени
Г—>со
число фотонов, излучаемых в единичном спектральном интервале, центрированном относительно частоты v.
Рассмотрим спектр излучения одного фотона
+ 0°
Ф,(/) = J ф,(<-«е-^д.
— ОО
Предполагая, что испускание фотона есть мгновенный процесс, т. е.
Фх (t - tk) = hv6 (t - /*),
где 6 (t — tk) — дельта-функция в момент времени t — tk, получим, вводя новое значение текущего времени f = t — tk,
+°°
Ф, (/) - J hv6 (/') е~,2л1 (''+'*) df = Ье~'2я,<*.
— ОО
В соответствии с равенством Парсеваля интеграл от квадрата потока, излучаемого в момент времени /, когда в момент времени tk происходит акт испускания одного фотона, вычисленный для всех значений времени t от —оо до --[-оо, равен интегралу от квадрата модуля временного спектра излучения одного фотона, вычисленного для всех частот / от — оо до + оо.
Следовательно, введя обозначение
4-00
#!= J Ф? (t — tk) dt,
—оо
475
найдем
+«
^1-1 |Фж<ОГ d/.
Если за время Т испускается Nx фотонов, то суммарный квадрат потока излучения за это время можно найти, умножив значение для одного фотона на число фотонов Nv, а не на N% в силу случайности фаз составляющих спектра от излучения каждого фотона. Кроме того, необходимо учесть постоянную составляющую потока, определяемую Nv фотонами, квадрат которой в единицу времени составляет Фо, а за время Т — Фо Т.
Обозначив суммарный квадрат потока излучения за время Т через &г, найдем
& т — Nx<? 1 -j- Фо7\
причем первое слагаемое правой части равенства учитывает флуктуации потока излучения, а второе — его постоянную составляющую.
Следовательно, можно записать
4-00
&Т= j ЛМФ1(/)|2Л/ + ФоТ’-
-ОО
Средний квадрат флуктуаций потока излучения, очевидно, равен
_______ ^ +°° ^
Фг(0 = lim^r = lirn f JVv|Oi (/)ГЧ + Фо,
7->со 1 Т^оо 1
а дисперсия
_______ ______ 4 °° ^
А Фу (0 = Фг (/) — Фо = f Г lim -^г-1 | Ф1 (/) \2df.
Так как
lim-^ = Nv,
T-> 00 1
TO
_______+00
A®v(0 - J /Vv|<7>i(/)|2d/.
-OO
Сравнивая это выражение с общей формулой для дисперсии, определяющей ее зависимость от спектральной плотности — спектра Хинчина—Винера
_________ +г°°
AOl(t)= J Ev (f) df,
— 00
476
найдем
Ev(/) = jVv|3»x(/)|2,
но
