Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.
Скачать (прямая ссылка):
I <Т>1 (f) I2 = I ftve“/2nf'* I2 = (h\f,
следовательно,
E, (/) = NV (hvf.
В полученную формулу должна быть внесена существенная поправка, связанная с тем, что при ее выводе предполагалось, что случайные события (отдельные акты излучения фотонов) появляются независимо друг от друга. В этом случае справедлив закон Пуассона, описывающий распределение числа появлений рассматриваемых случайных событий в единицу времени
pi дг ) — (ffvLT. е~*у — Nvl е
где Р (Nv) - вероятность того, что в течение времени произойдет ровно Nv актов излучения; Nv — среднее число актов излучения в единицу времени.
Как известно, дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна среднему значению
дnI = n~v.
Это свойство распределения Пуассона, называемое законом среднеквадратического отклонения, является критерием того — правдоподобна ли гипотеза о распределении случайной величины по закону Пуассона.
Закон среднеквадратического отклонения может быть, например, использован для расчета отклонения от среднего числа атомов, находящихся в некотором объеме газа, а также многих других физических явлений, характеризующихся равномерным распределением энергии по степеням свободы (классическая статистика Больцмана).
Рассмотрим, справедлив ли закон среднеквадратического отклонения для фотонного газа. Для этого найдем выражение для дисперсии флуктуаций числа фотонов
ДNl = {Nv - Nvf - : nI— (A'v)2.
Так как
?v = N v/iV,
= ANl (hvf,
TO
ANl = A??/(/iv)2,
477
где AEl - средний квадрат отклонения энергии от среднего значения Ev.
Из формулы Эйнштейна—Фаулера для флуктуаций потока излучения следует, что
дЦ = Fvftv [1 + l/(eAv/(ftr> - 1)1,
откуда искомая дисперсия флуктуации числа фотонов:
Д N% = Ж, [1 + (v)] = Wv3) (v),
где
6В (v) = Щ^ПкТ) _ 1)^
0 (V) = 1 + 6В (v) - ehvHkT)j^hv/(kT) _ 1) = 1/(1 - t-hvl(kT))
Как видим, полученное выражение отличается от закона среднеквадратического отклонения, т. е. рассматриваемое распределение не является распределением Пуассона.
Флуктуации в фотонном газе несколько больше - на величину 6В (v), называемую параметром вырождения. Это является следствием учета вынужденного излучения атома, помещенного во внешнее поле. Поглощение атомом энергии внешнего поля, связанное с переходом его из низшего квантового состояния в высшее, не изменяет чисто случайный характер флуктуаций собственного излучения атома. Однако существует определенная вероятность перехода атома из высшего состояния в низшее, сопровождающегося излучением энергии. Вынужденное (под действием внешнего поля) излучение определяет возможность одновременного излучения нескольких фотонов, испускаемых с одинаковыми энергиями в одном направлении (эффект слипания). Таким образом, существует некоторая корреляция излучения фотонов и отдельные акты излучения нельзя считать независимыми. Это обстоятельство учитывается статистикой Бозе—Эйнштейна, в которой в отличие от статистики Больцмана вводится коэффициент корреляции <Z)(v), определяемый через параметр вырождения 8B(v). У тепловых источников излучения до температур примерно 104 К параметр вырождения очень мал. Действительно, например, для комнатной температуры при длине волны 10 мкм он равен 0,008. Однако у нетепловых (лазерных) источников параметр вырождения может быть очень большим.
Учитывая статистику Бозе—Эйнштейна, спектр Хинчина— Винера для потока, излучаемого единицей поверхности абсолютно черного тела в единичном спектральном интервал в полусферу, можно представить в виде
Ev (/) = (fov)2~NV?D (v) = (hvf Nv[\+ba( v)],
или
E„ (f) = (hc/X)2 NrfD (X) = {hdlf Nil 1 + (*.)],
478
причем
~rj Ry 2nv2 1 2n\2 ~ . v
v '' nv ~ C* ehV/(kT) J C2 1V)'
(V) - l/(e*w<*n _!); a) (v) = 1 + 6B (V);
T7 _ _ 2яс 1 n v
Л hell A4 eftc/(U7)_j“ X4 B 1
6B (X) = l/(e^/(^7’) - 1), g> (к) = 1 + бв (Ц.
Легко убедиться, что полученные ранее по формуле Эйнштейна— Фаулера значения дисперсии флуктуаций спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела A^v и ARl представляют собой спектры Хинчина—Винера, т. е.
ДRl = Ev (/),
Если использовать только положительные частоты, то соответствующие спектры равны:
Ev (/+) = 2EV (/); Extf+) = 2Ex(/).
Дисперсию флуктуаций в шумовой полосе пропускания электронного тракта А/ш можно вычислить обычным путем
^+Д^ш
[Д^]л,ш = J Е (f+) df = Л/ШЕ (/+)=2Е (/) Д/ш, f
следовательно,
[Щ]мш = 2^ Д/ш, [Щ]д,ш -> 2Й Д/ш,
причем [А#$]д/ш измеряется в Вта«см“2*Гц'’1, а [Д/Шд/ш —в Вт2 X X см~2-см-1.
Наличие в единицах измерения этих величин Гц-1 и см-1 говорит о том, что они, по-прежнему, отнесены к единичному спектральному интервалу оптических частот v в Гц или длин волн % в см.
Расчет фотонного шума различен для тепловых приемников излучения, реагирующих на среднее значение потока, и фотонных приемников, сигнал которых определяется количеством носителей заряда, освобождаемых квантами излучения и либо покидающих вещество (фотоэмиссия), либо остающихся в нем, увеличивая проводимость (фотосопротивления) или создавая э.д.с. (фотовольтаи-ческие приемники).
