Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
представление в виде однократной суммы в соотношении ортогональности Рака
и применяя к (6 -/^-символу формулу преобразования Уиппла (кстати, Рака
переоткрыл эту же формулу), можно получить новое семейство ортогональных
многочленов, совершенно не упоминаемое в математической литературе. В
действительности положение было намного хуже: это семейство ортогональных
многочленов не только не было открыто, но имелся ряд теорем, которые,
казалось бы, утверждали, что существующее множество ортогональных
многочленов от одной переменной является полным множеством всех
ортогональных многочленов от одной переменной, которые можно представить
в явном виде. Такое утверждение, как показал Рака на примере предложенных
им многочленов, было ошибочным.
Этот случай должен послужить хорошим уроком, и из него следует сделать
очень важный вывод: для того чтобы математика не превратилась в
разрозненный набор отдельных узких областей, необходимы тесные контакты
между специалистами по ее различным разделам. Цель настоящей серии книг -
попытаться показать, как различные разделы математики связаны между собой
и как эту связь можно использовать для решения проблем, представляющих
интерес для специалистов в различных областях.
В оставшейся части этого предисловия мы дадим краткий обзор современных
взглядов на специальные функции. Поскольку имеется довольно много важных
специальных функций, мы в своем обзоре будем рассматривать специальные
функции
10 Предисловие редактора серии
примерно в том порядке, в котором они были открыты. Многих, возможно,
удивит тот факт, что современный взгляд на некоторые вопросы почти не
претерпел никаких изменений с того момента, когда были получены первые
серьезные результаты. Мы придерживаемся современного стиля изложения, но
большинство идей, которыми мы пользуемся, было предложено давным-давно.
В приложениях наиболее важными специальными функциями оказываются
гипергеометрические функции. Обобщенный гипергеометрический ряд имеет вид
оо
л* 0
причем ал-и/яп-рациональная функция от п. Эта рациональная функция, как
правило, представляется в виде произведения -
ал+1 (п 4 й\) (п 4 аг) ... (п~\-ар) х
ап ("4- b\) (n + Ь%) ... (я + Ья) п 41*
так что
(а 1 )п • * * (ар)п хп йп = (6i)" ... (bq)n ^Г'
Сдвинутый факториал (а)п определяется соотношениями
(а)п - а (а + 1) ... (а + п- 1), "=1,2,..., (а)0=1,
оо
и поэтому 2] ап можно записать в следующем виде:
п= 0
/ й\, . . ., йр I Л у (аОп • • • (ир)п ха р> Чбь .... ЬЧ\Х
Этот ряд сходится для всех комплексных х при р ^ q и для |*| < I при р =
q + 1- Имеют место следующие частные случаи:
Предисловие редактора серии 11
(X, -х\ \
cos лх = 2Fi ^ 1 J.
COS ЛХ =
Последняя формула имеет особенное значение, так как она наводит на мысль
о том, что параметры, входящие в гипергеомет-рические ряды, не просто
дают нам возможность отличать один ряд от другого, а могут играть более
важную роль в изучении гипергеометрических рядов. Первым понял это,
вероятно, Гаусс. Мы еще вернемся к результатам Гаусса, но сначала
познакомимся с установленными Валлисом и Эйлером более ранними
результатами, которые помогут нам понять, почему последняя формула
справедлива.
Когда рассматривается биномиальное разложение, приходится сталкиваться с
факториалом /г! = 1 -2• ... -п. Наиболее простым обобщением п! является
сдвинутый факториал (а)", определенный нами выше. Ясно, что п!=(1)", но
это не дает ответа на интересный вопрос, что же такое '/г! ? На этот
вопрос ответил Эйлер после того, как он ввел функцию Г(х). Первоначальное
выражение, предложенное Эйлером, имело ви*д бесконечного произведения, но
он дал и интегральное представление эквивалентное следующему:
Вывод свойств функции Г(х) всегда начинается с исследования этого
интеграла, но следует сказать несколько слов в защиту произведения Эйлера
и других формул, определяющих гамма-функцию сразу для всех х, а не только
для тех значений х, для которых Rex>0, как в указанном выше интеграле.
Одна из таких формул имеет вид
00
гм = $
О
00
где
Y=Iim(l+y+ ... +1_1П/Л.
00 \ * П /
12 Предисловие редактора серии
Другая формула, полученная Эйлером, но обычно приписываемая Гауссу,
записывается следующим образом:
--=: цт i*b_n\-x
rw (i)" п •
Применяя гамма-функцию, Эйлер вычислил интеграл, определяющий бета-
функцию:
1
и получил
r(x гЛ-ШШ. В(х, у)- Т(х + у)
Легко видеть, что отсюда вытекает соотношение Г ('/2)= Vя И
действительно, первоначальная формула Эйлера для гамма-функции сводится
при х = 1/2 (после некоторых простых алгебраических преобразований) к
бесконечному произведению Валлиса для я.
В девятнадцатом веке было предложено много различных интегральных
представлений для функции Г(х), а Ганкель1) доказал, что эта функция не
может удовлетворять никакому дифференциальному уравнению с
алгебраическими коэффициентами. Она удовлетворяет разностному уравнению
Г(х+1) = = хГ(х), но это условие не является достаточно строгим для того,
