Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
Эндрюс Г. Теория разбиений ("Наука") и Минк X. Перманенты ("Мир"),
ОТ РЕДАКТОРА ЭНЦИКЛОПЕДИИ
Математика состоит главным образом из фактов, которые можно представить и
описать подобно любому явлению природы. Эти факты, иногда
сформулированные явно в виде теорем, иногда упоминаемые по ходу
доказательств, составляют основную часть приложений математики и будут
существовать всегда, несмотря на изменчивость направлений и интересов в
данной науке.
Цель настоящей Энциклопедии - постараться осветить все области
математики. От каждого автора требуется ясное и четкое изложение
материала, доступное для понимания широкого круга читателей, а также
подробная библиография. Тома Энциклопедии объединяются в серии, которые
соответствуют различным областям современной математики; порядок выхода
книг в отдельных сериях не устанавливается. Число томов и серий время от
времени будет пересматриваться и корректироваться.
Мы надеемся, что наше смелое предприятие будет способствовать еще более
широкому применению математики не только там, где без нее нельзя
обойтись, но даже в тех областях, где ее следовало бы применять и где из-
за недостатка информации это пока почти не делается.
Всем, кто хоть раз пытался решить какое-либо дифференциальное уравнение,
известно, что такое разделение переменных. Обычно этот метод
представляется как множество всяческих ловких приемов, лежащих на грани
математики.
Профессор Миллер в своей монографии дал первое систематическое изложение
этого метода; в ней раскрыта тесная связь процесса разделения переменных
с одним из основных разделов современной математики и математической
физики, а именно с теорией алгебр Ли.
Этот том открывает серию, посвященную теории специальных функций, с
которыми математикам приходится сталкиваться в приложениях.
Джан-Карло Рот
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА СЕРИИ
Этот том открывает серию книг, авторы которых пытаются показать, как и
почему во многих приложениях математики появляются специальные функции.
Элементарные трансцендентные функции, такие, как экспоненциальная
функция, ее обратная (логарифмическая) и тригонометрические функции,
входят в число рабочих инструментов не только математиков, но и
большинства специалистов, использующих математику в своей работе. Было
время, когда каждый математик в совершенстве знал теорию высших
трансцендентных функций. Так, например, во второй половине девятнадцатого
столетия появилось поразительное количество книг, посвященных
эллиптическим функ> циям, а на выпускных экзаменах в университетах
постоянно предлагались сложные задачи на доказательство различных фактов,
относящихся к функциям Бесселя и функциям Лежандра. Теперь эти функции и
другие исключительно полезные специальные функции известны не столь
широкому кругу специалистов; это привело к тому, что возникающие в
приложениях важные специальные функции вот уже в течение двадцати пяти с
лишним лет изучаются людьми, не подозревающими, что многие открытые ими
факты были установлены около ста лет тому назад,
За последние сорок лет нечто подобное произошло с так называемыми (3 -
/)-символами. С этими функциями приходится сталкиваться при исследовании
разложения прямого произведения двух неприводимых представлений группы
SU(2). Поскольку гипергеометрические ряды известны не столь широко, как
следовало бы, только недавно было обнаружено, что одно из соотношений
ортогональности для (3- /)-символов является не чем иным, как
соотношением ортогональности для некоторого семейства многочленов,
полученным Чебышевым еще в 1875 г. Для этих многочленов Чебышев предложил
несколько полезных формул, до сих пор не появившихся в физической
литературе, к которой относится большинство работ, посвященных (3 - Д-
символам. Подобным же образом соотношение симмет-
Предисловие редактора серии
рии для (3 - /)-символов, полученное Регге в 1958 г., было предложено в
1923 г. Уипплом, а еще ранее - в 1879 г. - Томэ. Первые операторы
симметрии для этих функций были найдены в 1836 г. Куммером. Можно было бы
не беспокоиться о том, что старые результаты забываются, если бы получать
такие результаты было легко и просто и если бы это было по плечу Каждому,
кто в них нуждается. Однако довольно часто дело обстоит совсем иначе, а
для соотношения симметрии Регге эго можно утверждать с полной
уверенностью. В период с 1930 по 1958 г. многие специалисты занимались
изучением (3 - /)-символов, но никто из них не смог получить эту
симметрию.
От недостатка обмена информацией между математиками и специалистами,
применяющими математику в своей работе, страдают обе стороны, что можно
показать на простом примере. В 1942 г. Рака опубликовал важное
соотношение ортогональности для функций, которые мы теперь называем (6 -
/)-символами или коэффициентами Рака. Он также установил важное
представление для этих функций в виде однократной суммы, обычно же эти
функции представляются в виде четырехкратных сумм. Подставляя
